Математический анализ Примеры

$y = \sin (\sec (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\cos (\sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (\sec (x)) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Этап 3.2

Объединим $\cos (\sec (x))$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \tan (x)$

Этап 3.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.4

Умножим $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 3.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Этап 3.4.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Этап 3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 3.6

Разделим дроби.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$

Этап 3.7

Перепишем $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 3.8

Запишем $\cos (\sec (x))$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (\sec (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Разделим $\cos (\sec (x))$ на $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 3.9.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \sec (x))$

Этап 3.10

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (\sec (x)) \sec (x)$