Математический анализ Примеры

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 9 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{4}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $- 9$ .

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$- 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 12 x^{2}$ из $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 12 x^{2}$ из $- 36 x^{3}$ .

$- 12 x^{2} (3 x) + 12 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $- 12 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} \cdot - 1 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $- 12 x^{2}$ из $- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} (- 1)$ .

$- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{1}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $4 x^{3} - 9 x^{4}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 9 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 9$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{1}{3}$ вместо $x$ .

$4 {(\frac{1}{3})}^{3} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$4 \frac{1^{3}}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 \frac{1}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$4 (\frac{1}{27}) - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{27}$ .

$\frac{4}{27} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1^{4}}{3^{4}}$

Этап 4.2.2.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1}{3^{4}}$

Этап 4.2.2.1.7

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{4}{27} - 9 (\frac{1}{81})$

Этап 4.2.2.1.8

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.8.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$\frac{4}{27} + 9 (- 1) \frac{1}{81}$

Этап 4.2.2.1.8.2

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Этап 4.2.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Этап 4.2.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{27} - 1 (\frac{1}{9})$

Этап 4.2.2.1.9

Перепишем $- 1 (\frac{1}{9})$ в виде $- (\frac{1}{9})$ .

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9}$

Этап 4.2.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{27} - \frac{3}{9 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{4}{27} - \frac{3}{27}$

Этап 4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - 3}{27}$

Этап 4.2.2.5

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{27}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (\frac{1}{3}, \frac{1}{27})$

Этап 5