Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{2 x + 3}}{{(4 x - 1)}^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{2 x + 3}$ и $g (x) = {(4 x - 1)}^{3}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{({(4 x - 1)}^{3})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${({(4 x - 1)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x + 3$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x + 3$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 4.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 + 0) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} \cdot 2 - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 4.6.2

Перенесем $2$ влево от ${(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}$ .

$\frac{2 \cdot ({(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x - 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x - 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (3 {(4 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 6.2

По правилу суммы производная $4 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 6.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 6.5

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 6.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 + 0))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 6.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} \cdot 4)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 6.7.2

Перенесем $4$ влево от ${(4 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} (4 \cdot {(4 x - 1)}^{2})}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 6.7.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ из $2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ из $2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ из $- 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) + 2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (- 6)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ из $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) + 2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (- 6)$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1 - 6)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 7.1.2

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 7)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель ${(4 x - 1)}^{2}$ и ${(4 x - 1)}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель ${(4 x - 1)}^{2}$ из $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 7)$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель ${(4 x - 1)}^{2}$ из ${(4 x - 1)}^{6}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{2} {(4 x - 1)}^{4}}$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{2} {(4 x - 1)}^{4}}$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 e^{2 x + 3} (4 x - 7)}{{(4 x - 1)}^{4}}$