Математический анализ Примеры

$y = \frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (| 3 x |)$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | 3 x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $| 3 x |$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 4.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $| 3 x |$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{| 3 x |}$ и $x^{2}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 6.2

Производная $| u_{2} |$ по $u_{2}$ равна $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{3 x}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 7

Умножим $\frac{3 x}{| 3 x |}$ на $\frac{x^{2}}{| 3 x |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x \cdot x^{2}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 8

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x)}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x^{1})}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{2 + 1}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 8.3

Добавим $2$ и $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 9

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x (3 x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 10

Умножим $3$ на $3$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x \cdot x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x^{1}) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 14

Добавим $1$ и $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 15

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - 3 \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 16.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |}$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 3 (3 x^{3})}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 16.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 16.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \cdot 1}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 18.2

Объединим $5$ и $\frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$ .

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x)) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 (2 \ln (| 3 x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{5 (2 \ln (3 | x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.3

Упростим $2 \ln (3 | x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{5 (\ln ({(3 | x |)}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.4

Применим правило умножения к $3 | x |$ .

$\frac{5 (\ln (3^{2} {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{5 (\ln (9 {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.6

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{5 (\ln (9 x^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.7

Умножим $5 (\ln (9 x^{2}) x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.7.1

Изменим порядок $\ln (9 x^{2})$ и $5$ .

$\frac{5 \cdot \ln (9 x^{2}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.7.2

Упростим $5 \cdot \ln (9 x^{2})$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\frac{\ln ({(9 x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.8

Применим правило умножения к $9 x^{2}$ .

$\frac{\ln (9^{5} {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.9

Возведем $9$ в степень $5$ .

$\frac{\ln (59049 {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.10

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (59049 x^{2 \cdot 5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.10.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.11

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.12

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.12.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{3}}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.13

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.13.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.13.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x}{1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.13.2.4

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- x)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.1.14

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.2.2

Изменим порядок множителей в $\ln (59049 x^{10}) x - 5 x$ .

$\frac{x \ln (59049 x^{10}) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.3

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (59049 x^{10}) - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (59049 x^{10})$ .

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5$ .

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

Этап 19.4

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (3 | x |)}$