Математический анализ Примеры

$y = (3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x^{3} - 4 x$ и $g (x) = e^{- 5 x}$ .

$(3 x^{3} - 4 x) \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 4 x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 5 x$ .

$(3 x^{3} - 4 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 4 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(3 x^{3} - 4 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 4 x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$(3 x^{3} - 4 x) (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 4 x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 4 x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 4 x]$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$(3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x} \cdot - 5 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 4 x]$

Этап 3.3.2

Перенесем $- 5$ влево от $(3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x}$ .

$- 5 \cdot ((3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 4 x]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 5 (3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 (3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 5 (3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $3$ .

$- 5 (3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 3.8

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (9 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 (3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (9 x^{2} - 4 \cdot 1)$

Этап 3.10

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 5 (3 x^{3} - 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (9 x^{2} - 4)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 5 (3 x^{3}) - 5 (- 4 x)) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (9 x^{2} - 4)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 (3 x^{3}) e^{- 5 x} - 5 (- 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (9 x^{2} - 4)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 (3 x^{3}) e^{- 5 x} - 5 (- 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (9 x^{2}) + e^{- 5 x} \cdot - 4$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $3$ на $- 5$ .

$- 15 x^{3} e^{- 5 x} - 5 (- 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (9 x^{2}) + e^{- 5 x} \cdot - 4$

Этап 4.4.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$- 15 x^{3} e^{- 5 x} + 20 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (9 x^{2}) + e^{- 5 x} \cdot - 4$

Этап 4.4.3

Перенесем $- 4$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$- 15 x^{3} e^{- 5 x} + 20 x e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (9 x^{2}) - 4 e^{- 5 x}$

Этап 4.5

Изменим порядок членов.

$- 15 e^{- 5 x} x^{3} + 20 e^{- 5 x} x + 9 e^{- 5 x} x^{2} - 4 e^{- 5 x}$