Математический анализ Примеры

$y = (1 + 2 x) e^{- 2 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + 2 x$ и $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(1 + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$(1 + 2 x) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 2 x) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + 2 x) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(1 + 2 x) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 3.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $(1 + 2 x) e^{- 2 x}$ .

$- 2 \cdot ((1 + 2 x) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $1 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (2 \cdot 1)$

Этап 3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \cdot 2$

Этап 3.9.2

Перенесем $2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$- 2 (1 + 2 x) e^{- 2 x} + 2 \cdot e^{- 2 x}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 2 \cdot 1 - 2 (2 x)) e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 1 e^{- 2 x} - 2 (2 x) e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} - 2 (2 x) e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 2 e^{- 2 x} - 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

Этап 4.3.3

Добавим $- 2 e^{- 2 x}$ и $2 e^{- 2 x}$ .

$- 4 x e^{- 2 x} + 0$

Этап 4.3.4

Добавим $- 4 x e^{- 2 x}$ и $0$ .

$- 4 x e^{- 2 x}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $- 4 x e^{- 2 x}$ .

$- 4 e^{- 2 x} x$

Этап 4.5

Изменим порядок множителей в $- 4 e^{- 2 x} x$ .

$- 4 x e^{- 2 x}$