Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{4} \cdot \arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} \cdot \arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Этап 2.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}) \cdot 4} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Этап 3.2

Перенесем $4$ влево от $1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Этап 3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} (4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})}$ .

$\frac{4}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Этап 3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 3 + 5 \cos (x)$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + 5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + 5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $3 + 5 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (5 \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - 5 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - 5 \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 13

Умножим $\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}}$ на $\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим правило умножения к $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{{(4 \sin (x))}^{2}}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.2

Применим правило умножения к $4 \sin (x)$ .

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Умножим $5 \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.4.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \cos (x) + 5 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.4.2

Вынесем множитель $5$ из $5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.4.3

Вынесем множитель $5$ из $5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x)) + 5 (\sin^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.4.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (\cos^{2} (x)) + 5 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.4.5

Переставляем члены.

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.4.6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cdot 1}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.4.7

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5}{(1 + \frac{16 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Этап 14.6

Изменим порядок членов.

$\frac{5 + 3 \cos (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2} (1 + \frac{16 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}})}$