Математический анализ Примеры

$y = \cot^{2} (\frac{1}{3 x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cot (\frac{1}{3 x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cot (\frac{1}{3 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cot (\frac{1}{3 x})$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{1}{3 x}$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Этап 2.2

Производная $\cot (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{1}{3 x}$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (- \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) (\csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{- 2}{3}$ и $\cot (\frac{1}{3 x})$ .

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x})}{3} \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.3.3

Объединим $\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x})}{3}$ и $\csc^{2} (\frac{1}{3 x})$ .

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.3.4.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} (- x^{- 2})$

Этап 3.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} x^{- 2}$

Этап 3.5.2

Умножим $\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3}$ на $1$ .

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} x^{- 2}$

Этап 3.5.3

Объединим $\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3}$ и $x^{- 2}$ .

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) x^{- 2}}{3}$

Этап 3.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3 x^{2}}$

Этап 3.5.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{2 \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \cot (\frac{1}{3 x})}{3 x^{2}}$