Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x} (x - 1)$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} (x - 1)$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} (x - 1))$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.4.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 4.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.9

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.3

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.3.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.4

Перепишем $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ в виде $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.5

Чтобы записать $x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.6

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.8

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2.9

Добавим $2 x^{\frac{1}{2}}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$