Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x - 9$ и $g (x) = 2 x^{2} + 8$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [2 x - 9] - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $2 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.6.2

Перенесем $2$ влево от $2 x^{2} + 8$ .

$\frac{2 \cdot (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.7

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.10

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.11

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.2.12.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 + (- 4 (2 x) - 4 \cdot - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.4

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.5

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Вычтем $8 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 16 + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 4 x^{2} + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.6

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} + 36 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Вынесем множитель $4$ из $36 x$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.6.3

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.6.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (9 x)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2}) + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.7.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 2 \cdot 4)}^{2}}$

Этап 3.3.7.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 \cdot 4$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Этап 3.3.7.2

Применим правило умножения к $2 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{2^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.7.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $9 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 9 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.12

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.14

Перепишем $- (x^{2} - 9 x - 4)$ в виде $- 1 (x^{2} - 9 x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$