Математический анализ Примеры

$y = \frac{5 - 7 x + 9 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 - 7 x + 9 x^{2}}{x^{2}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 5 - 7 x + 9 x^{2}$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - 7 x + 9 x^{2}] - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - 7 x + 9 x^{2}] - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - 7 x + 9 x^{2}] - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2.2

По правилу суммы производная $5 - 7 x + 9 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2.7

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2.8

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 9 (2 x)) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2.10

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 18 x) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 18 x) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 3.2.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x}{x^{4}}$

Этап 3.2.12.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (- 7 + 18 x)$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x)) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x}{x^{4}}$

Этап 3.2.12.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x)) + x (- 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x^{4}}$

Этап 3.2.12.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (- 7 + 18 x)) + x (- 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x^{4}}$

Этап 3.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2})}{x^{3}}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot - 7 + x (18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2})}{x^{3}}$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot - 7 + x (18 x) - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Этап 3.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перенесем $- 7$ влево от $x$ .

$\frac{- 7 \cdot x + x (18 x) - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Этап 3.4.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 7 x + 18 x \cdot x - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Этап 3.4.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 7 x + 18 (x \cdot x) - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Этап 3.4.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Этап 3.4.3.1.4

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 10 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Этап 3.4.3.1.5

Умножим $- 7$ на $- 2$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 10 + 14 x - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Этап 3.4.3.1.6

Умножим $9$ на $- 2$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 10 + 14 x - 18 x^{2}}{x^{3}}$

Этап 3.4.3.2

Объединим противоположные члены в $- 7 x + 18 x^{2} - 10 + 14 x - 18 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Вычтем $18 x^{2}$ из $18 x^{2}$ .

$\frac{- 7 x - 10 + 14 x + 0}{x^{3}}$

Этап 3.4.3.2.2

Добавим $- 7 x - 10 + 14 x$ и $0$ .

$\frac{- 7 x - 10 + 14 x}{x^{3}}$

Этап 3.4.3.3

Добавим $- 7 x$ и $14 x$ .

$\frac{7 x - 10}{x^{3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{7 x - 10}{x^{3}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x - 10}{x^{3}}$