Математический анализ Примеры

$y = \frac{5 + 6 x - 5 x^{2}}{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 + 6 x - 5 x^{2}}{x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 5 + 6 x - 5 x^{2}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [5 + 6 x - 5 x^{2}] - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $5 + 6 x - 5 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.6

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.7

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (6 - 5 (2 x)) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.9

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 6 + x (- 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 6 + x (- 10 x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$\frac{6 \cdot x + x (- 10 x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 x - 10 x \cdot x - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{6 x - 10 (x \cdot x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.3.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.3.1.6

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Объединим противоположные члены в $6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x + 5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 + 0 + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 3.3.3.2.2

Добавим $- 10 x^{2} - 5$ и $0$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 3.3.3.3

Добавим $- 10 x^{2}$ и $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 5}{x^{2}}$

Этап 3.3.4

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x^{2}$ .

$\frac{5 (- x^{2}) - 5}{x^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (- 1)}{x^{2}}$

Этап 3.3.4.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (- x^{2}) + 5 (- 1)$ .

$\frac{5 (- x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{5 (- (x^{2}) - 1)}{x^{2}}$

Этап 3.3.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{5 (- (x^{2}) - 1 (1))}{x^{2}}$

Этап 3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{5 (- (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Этап 3.3.8

Перепишем $- (x^{2} + 1)$ в виде $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{5 (- 1 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Этап 3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$