Математический анализ Примеры

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{\ln (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Этап 4.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Этап 4.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $x^{\ln (x)}$ в виде $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Этап 4.2.2

Развернем $\ln (x^{\ln (x)})$ , вынося $\ln (x)$ из логарифма.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Этап 4.3

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Этап 4.4

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Этап 4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Этап 4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Этап 4.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Этап 4.7.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Этап 4.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Этап 4.8

Объединим $e^{\ln^{2} (x)}$ и $\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Этап 4.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.9.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Объединим $2$ и $\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.10.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 4.11

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 4.12

Умножим $\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

Этап 4.13

Умножим $x^{\ln (x)}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

Этап 4.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Этап 4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Этап 4.14.2

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Этап 4.14.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$