Математический анализ Примеры

y = ln ({(x)}^{ln (x)})

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

Этап 1

Избавимся от скобок.

y = ln (x^{ln (x)})

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (ln (x^{ln (x)}))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

Этап 3

Производная

y

$y$ по

x

$x$ равна

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ и

g (x) = x^{ln (x)}

$g (x) = x^{\ln (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u_{1}

$u_{1}$ как

x^{ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ .

\frac{d}{d u_{1}} [ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{ln (x)}]

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Этап 4.1.2

Производная

ln (u_{1})

$\ln (u_{1})$ по

u_{1}

$u_{1}$ равна

\frac{1}{u_{1}}

$\frac{1}{u_{1}}$ .

\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{ln (x)}]

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения

u_{1}

$u_{1}$ на

x^{ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ .

\frac{1}{x^{ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

\frac{1}{x^{ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Этап 4.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем

x^{ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ в виде

e^{ln (x^{ln (x)})}

$e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

\frac{1}{x^{ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{ln (x^{ln (x)})}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Этап 4.2.2

Развернем

ln (x^{ln (x)})

$\ln (x^{\ln (x)})$ , вынося

ln (x)

$\ln (x)$ из логарифма.

\frac{1}{x^{ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{ln (x) ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

\frac{1}{x^{ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{ln (x) ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Этап 4.3

Возведем

ln (x)

$\ln (x)$ в степень

1

$1$ .

\frac{1}{x^{ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{ln}^{1} (x) ln (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Этап 4.4

Возведем

ln (x)

$\ln (x)$ в степень

1

$1$ .

\frac{1}{x^{ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{ln}^{1} (x) {ln}^{1} (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Этап 4.5

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{1}{x^{ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{ln (x)}^{1 + 1}}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Этап 4.6

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{1}{x^{ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{ln}^{2} (x)}]

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Этап 4.7

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ и

g (x) = {ln}^{2} (x)

$g (x) = \ln^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u_{2}

$u_{2}$ как

{ln}^{2} (x)

$\ln^{2} (x)$ .

\frac{1}{x^{ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e_{2}^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [{ln}^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Этап 4.7.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d u_{2}} [a_{2}^{u_{2}}]

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид

a_{2}^{u_{2}} ln (a)

$a^{u_{2}} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

e

$e$ .

\frac{1}{x^{ln (x)}} (e_{2}^{u_{2}} \frac{d}{d x} [{ln}^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Этап 4.7.3

Заменим все вхождения

u_{2}

$u_{2}$ на

{ln}^{2} (x)

$\ln^{2} (x)$ .

\frac{1}{x^{ln (x)}} (e^{{ln}^{2} (x)} \frac{d}{d x} [{ln}^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

\frac{1}{x^{ln (x)}} (e^{{ln}^{2} (x)} \frac{d}{d x} [{ln}^{2} (x)])

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Этап 4.8

Объединим

e^{{ln}^{2} (x)}

$e^{\ln^{2} (x)}$ и

\frac{1}{x^{ln (x)}}

$\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ .

\frac{e^{{ln}^{2} (x)}}{x^{ln (x)}} \frac{d}{d x} [{ln}^{2} (x)]

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Этап 4.9

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ и

g (x) = ln (x)

$g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u_{3}

$u_{3}$ как

ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{e^{{ln}^{2} (x)}}{x^{ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}_{3}^{2}] \frac{d}{d x} [ln (x)])

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}_{3}^{n}]

$\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид

n {u_{3}}_{3}^{n - 1}

$n {u_{3}}^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.9.3

Заменим все вхождения

$u_{3}$ на

$\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Объединим

$2$ и

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4.10.2

Объединим

$\ln (x)$ и

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 4.11

Производная

$\ln (x)$ по

$x$ равна

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 4.12

Умножим

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ на

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

Этап 4.13

Умножим

$x^{\ln (x)}$ на

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Возведем

$x$ в степень

$1$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

Этап 4.13.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Этап 4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Этап 4.14.2

Упростим

$2 \ln (x)$ путем переноса

$2$ под логарифм.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Этап 4.14.3

Изменим порядок множителей в

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Этап 6

Заменим

$y'$ на

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$