Математический анализ Примеры

$y = x^{4 \cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4 \cos (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $x^{4 \cos (x)}$ в виде $e^{\ln (x^{4 \cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{4 \cos (x)})}]$

Этап 3.1.2

Развернем $\ln (x^{4 \cos (x)})$ , вынося $4 \cos (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{4 \cos (x) \ln (x)}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 \cos (x) \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 \cos (x) \ln (x)$ .

$e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (x) \ln (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ .

$e^{4 \cos (x) \ln (x)} (4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

Этап 3.3.2

Перенесем $4$ влево от $e^{4 \cos (x) \ln (x)}$ .

$4 \cdot e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.5

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.6

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{x}$ и $4$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{x} e^{4 \cos (x) \ln (x)} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.8.2.2

Объединим $\frac{\cos (x) \cdot 4}{x}$ и $e^{4 \cos (x) \ln (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.8.2.3

Перенесем $4$ влево от $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cdot \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.8.2.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} - 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \ln (x) \sin (x)$

Этап 3.8.3

Изменим порядок членов.

$- 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x}$