Математический анализ Примеры

$y = \frac{t^{2} + 3}{t^{4} - 5 t^{2} + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2} + 3$ и $g (t) = t^{4} - 5 t^{2} + 1$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $t^{2} + 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t + 0) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $t^{4} - 5 t^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $t^{4} - 5 t^{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 5$ является константой относительно $t$ , производная $- 5 t^{2}$ по $t$ равна $- 5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 5 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t + 0)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.11

Добавим $4 t^{3} - 10 t$ и $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 t^{4} + 2 (- 5 t^{2}) + 2 \cdot 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим $t^{4}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{4}) + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.2

Умножим $t$ на $t^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{4}) + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{1 + 4} + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 (t \cdot t^{2})) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 (t^{1} t^{2})) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{3}) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t + (- t^{2} - 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6

Развернем $(- t^{2} - 3) (4 t^{3} - 10 t)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3} - 10 t) - 3 (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{2} t^{3} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1.2.1

Перенесем $t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{2}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{3 + 2} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{5} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{2} t - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.5

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1.5.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 (t \cdot t^{2}) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.5.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1.5.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 (t^{1} t^{2}) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{1 + 2} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{3} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.6

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.7

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 12 t^{3} - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.8

Умножим $- 10$ на $- 3$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 12 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.2

Вычтем $12 t^{3}$ из $10 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 2 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вычтем $4 t^{5}$ из $2 t^{5}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 2 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вычтем $2 t^{3}$ из $- 10 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 2 t + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Добавим $2 t$ и $30 t$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2 t$ из $- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 32 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $2 t$ из $- 2 t^{5}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) - 12 t^{3} + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $2 t$ из $- 12 t^{3}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2}) + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $2 t$ из $32 t$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2}) + 2 t (16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.1.4

Вынесем множитель $2 t$ из $2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 6 t^{2}) + 2 t (16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.1.5

Вынесем множитель $2 t$ из $2 t (- t^{4} - 6 t^{2}) + 2 t (16)$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 6 t^{2} + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $t^{4}$ в виде ${(t^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 t (- {(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Пусть $u = t^{2}$ . Подставим $u$ вместо $t^{2}$ для всех.

$\frac{2 t (- u^{2} - 6 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ , а сумма — $b = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 u$ .

$\frac{2 t (- u^{2} - 6 (u) + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.4.1.2

Запишем $- 6$ как $2$ плюс $- 8$

$\frac{2 t (- u^{2} + (2 - 8) u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t (- u^{2} + 2 u - 8 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 t ((- u^{2} + 2 u) - 8 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 t (u (- u + 2) + 8 (- u + 2))}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u + 2$ .

$\frac{2 t ((- u + 2) (u + 8))}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.5

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2}$ .

$\frac{2 t (- t^{2} + 2) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- t^{2}$ .

$\frac{2 t (- (t^{2}) + 2) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 t (- (t^{2}) - 1 (- 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t^{2}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 t (- (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.9

Перепишем $- (t^{2} - 2)$ в виде $- 1 (t^{2} - 2)$ .

$\frac{2 t (- 1 (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{((2 t) (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$