Математический анализ Примеры

$y = \ln ({(1 - t)}^{- 2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = {(1 - t)}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(1 - t)}^{- 2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(1 - t)}^{- 2}$ .

$\frac{1}{{(1 - t)}^{- 2}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Этап 2

Перенесем ${(1 - t)}^{- 2}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

${(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 - t$ .

${(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d t} [1 - t])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

${(1 - t)}^{2} (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - t$ .

${(1 - t)}^{2} (- 2 {(1 - t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

Этап 4

Умножим ${(1 - t)}^{2}$ на ${(1 - t)}^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем ${(1 - t)}^{- 3}$ .

${(1 - t)}^{- 3} {(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(1 - t)}^{- 3 + 2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Этап 4.3

Добавим $- 3$ и $2$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Этап 5

По правилу суммы производная $1 - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]))$

Этап 6

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

Этап 7

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (- \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

${(1 - t)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 9.2

Перенесем $2$ влево от ${(1 - t)}^{- 1}$ .

$2 \cdot {(1 - t)}^{- 1} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 {(1 - t)}^{- 1} \cdot 1$

Этап 11

Умножим $2$ на $1$ .

$2 {(1 - t)}^{- 1}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{1 - t}$

Этап 12.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{1 - t}$ .

$\frac{2}{1 - t}$