Математический анализ Примеры

$y = e^{\cos (t) + \ln (t)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = \cos (t) + \ln (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (t) + \ln (t)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\cos (t) + \ln (t)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d t} [\cos (t) + \ln (t)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (t) + \ln (t)$ .

$e^{\cos (t) + \ln (t)} \frac{d}{d t} [\cos (t) + \ln (t)]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\cos (t) + \ln (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$e^{\cos (t) + \ln (t)} (\frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [\ln (t)])$

Этап 3

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$e^{\cos (t) + \ln (t)} (- \sin (t) + \frac{d}{d t} [\ln (t)])$

Этап 4

Производная $\ln (t)$ по $t$ равна $\frac{1}{t}$ .

$e^{\cos (t) + \ln (t)} (- \sin (t) + \frac{1}{t})$