Математический анализ Примеры

$y = \sin^{2} (e^{5 x}) + \cos^{2} (e^{5 x})$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sin^{2} (e^{5 x}) + \cos^{2} (e^{5 x})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (e^{5 x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (e^{5 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (e^{5 x})$ .

$2 \sin (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 x$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 x$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.6

Умножим $5$ на $1$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} \cdot 5)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.7

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (5 \cdot e^{5 x})) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 2.8

Умножим $5$ на $2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $\cos (e^{5 x})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{4}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 u_{4} \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $\cos (e^{5 x})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{5}$ как $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{5}} [\cos (u_{5})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Этап 3.2.2

Производная $\cos (u_{5})$ по $u_{5}$ равна $- \sin (u_{5})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (u_{5}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{5}$ на $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{6}$ как $5 x$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{6}} [e^{u_{6}}] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{6}} [a^{u_{6}}]$ имеет вид $a^{u_{6}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{u_{6}} \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{6}$ на $5 x$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \cdot 1)))$

Этап 3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} \cdot 5))$

Этап 3.7

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (5 \cdot e^{5 x}))$

Этап 3.8

Умножим $5$ на $- 1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- 5 \sin (e^{5 x}) e^{5 x})$

Этап 3.9

Умножим $- 5$ на $2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} - 10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$

Этап 4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x}$ .

$10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) - 10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$

Этап 4.2

Вычтем $10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$ из $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $\cos (e^{5 x})$ .

$10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) - 10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$

Этап 4.2.2

Вычтем $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ из $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ .

$0$