Математический анализ Примеры

$y = (x^{3} + 2 x - 7) (3 + x - x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3} + 2 x - 7$ и $g (x) = 3 + x - x^{2}$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [3 + x - x^{2}] + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 + x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - (2 x)) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 7]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x^{3} + 2 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.12

Умножим $2$ на $1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.13

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2 + 0)$

Этап 2.14

Добавим $3 x^{2} + 2$ и $0$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)$ .

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ .

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + 1 ((3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x)) + 1 ((3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$ .

$1 ((x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2))$

Этап 3.2

Умножим $(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ на $1$ .

$(x^{3} + 2 x - 7) (1 - 2 x) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$(1 - 2 x) (x^{3} + 2 x - 7) + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $(1 - 2 x) (x^{3} + 2 x - 7)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$1 x^{3} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2.2

Умножим $2 x$ на $1$ .

$x^{3} + 2 x + 1 \cdot - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x \cdot x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2.4

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 (x^{3} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2.4.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 (x^{3} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{3 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2.4.3

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.1

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 7 + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.2.8

Умножим $- 7$ на $- 2$ .

$x^{3} + 2 x - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 14 x + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.3

Добавим $2 x$ и $14 x$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + (3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$

Этап 3.4.4

Развернем $(3 + x - x^{2}) (3 x^{2} + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 3 \cdot 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + x (3 x^{2}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x \cdot x^{2} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 (x^{2} x) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{2 + 1} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + x \cdot 2 - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 \cdot x - x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.7

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.7.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 1 \cdot 3 x^{4} - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4} - x^{2} \cdot 2$

Этап 3.4.5.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 9 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4} - 2 x^{2}$

Этап 3.4.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} + 6 + 3 x^{3} + 2 x - 3 x^{4}$

Этап 3.5

Добавим $x^{3}$ и $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 7 - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} + 6 + 2 x - 3 x^{4}$

Этап 3.6

Добавим $- 7$ и $6$ .

$4 x^{3} - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} - 1 + 2 x - 3 x^{4}$

Этап 3.7

Вычтем $3 x^{4}$ из $- 2 x^{4}$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 16 x + 7 x^{2} - 1 + 2 x$

Этап 3.8

Добавим $- 4 x^{2}$ и $7 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 16 x - 1 + 2 x$

Этап 3.9

Добавим $16 x$ и $2 x$ .

$4 x^{3} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 18 x - 1$