Математический анализ Примеры

$y = (\sqrt{x} + 1) e^{- 2 x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ и $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Этап 4.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ .

$- 2 \cdot ((x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Этап 4.4

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 9.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.2

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Чтобы записать $- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Объединим $- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (2 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 1) e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x}) x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 x^{\frac{1 + 1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 4 x^{\frac{2}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.4.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{- 4 x^{1} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.4.2

Упростим $- 4 x^{1} e^{- 2 x}$ .

$\frac{- 4 x e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.4.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{- 4 x e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 4 e^{- 2 x} x$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.2

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.3

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.4

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.5

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x) - 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x) - (4 x^{\frac{1}{2}}) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x) - (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.10

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.12

Перепишем $- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)$ в виде $- 1 (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{- 2 x} (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$