Математический анализ Примеры

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ не определено.

$- 2 \leq x \leq 2$

Этап 2

Поскольку $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ слева, а $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 2$ справа, то $x = - 2$ — вертикальная асимптота.

$x = - 2$

Этап 3

Поскольку $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $2$ слева, а $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $2$ справа, то $x = 2$ — вертикальная асимптота.

$x = 2$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 2, 2$

Этап 5

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 2^{2}}}$

Этап 5.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Этап 5.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}}$

Этап 5.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}}$

Этап 5.3.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}}$

Этап 5.4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 2) (x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 2) + 2 (x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2.4

Изменим порядок $x$ и $- 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 2 x + 2 x - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2.8.3

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2.8.4

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 4}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.2.9

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Этап 5.4.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Этап 5.4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Этап 5.4.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 2$ и $g (x) = x - 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.3

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.7

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.8

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2 + (x - 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2 + (x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.12

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2 + x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.13

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.14

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.15

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 5.4.3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Этап 5.4.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Этап 5.4.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Этап 5.4.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Этап 5.4.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 5.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 5.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 5.5.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$

Этап 6

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 2^{2}}}$

Этап 6.1.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Этап 6.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}}$

Этап 6.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}}$

Этап 6.3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}}$

Этап 6.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}}$

Этап 6.3.4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}}$

Этап 6.3.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}}$

Этап 6.4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 2) (x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 2) + 2 (x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2.4

Изменим порядок $x$ и $- 2$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 2 x + 2 x - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2.8.3

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 0 - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2.8.4

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.2.9

Для многочлена четной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен бесконечности.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Этап 6.4.1.3

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Этап 6.4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Этап 6.4.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 6.4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.2

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.3

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.7

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.8

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.12

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.13

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.14

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.15

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Этап 6.4.3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Этап 6.4.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Этап 6.4.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

Этап 6.4.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

Этап 6.4.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Этап 6.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1}}$

Этап 6.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1}}$

Этап 6.5.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 6.5.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$- \frac{1}{1}$

Этап 6.5.2.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1}$

Этап 6.5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 6.5.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 1, - 1$

Этап 8

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 2, 2$

Горизонтальные асимптоты: $y = 1, - 1$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 10