Математический анализ Примеры

Найти асимптоты x/( квадратный корень из x^2-4)
Этап 1
Найдем, где выражение не определено.
Этап 2
Поскольку как слева, а как справа, то  — вертикальная асимптота.
Этап 3
Поскольку как слева, а как справа, то  — вертикальная асимптота.
Этап 4
Перечислим все вертикальные асимптоты:
Этап 5
Вычислим , чтобы определить горизонтальную асимптоту.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Перепишем в виде .
Этап 5.1.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 5.2
Разделим числитель и знаменатель на в наибольшей степени в знаменателе, т. е. .
Этап 5.3
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Сократим общий множитель .
Этап 5.3.2
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 5.3.3
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 5.3.4
Внесем предел под знак радикала.
Этап 5.4
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 5.4.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.1.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.1.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.1.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.1.2.4
Изменим порядок и .
Этап 5.4.1.2.5
Возведем в степень .
Этап 5.4.1.2.6
Возведем в степень .
Этап 5.4.1.2.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.4.1.2.8
Упростим путем добавления членов.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.1.2.8.1
Добавим и .
Этап 5.4.1.2.8.2
Умножим на .
Этап 5.4.1.2.8.3
Добавим и .
Этап 5.4.1.2.8.4
Вычтем из .
Этап 5.4.1.2.9
Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.
Этап 5.4.1.3
Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.
Этап 5.4.1.4
Деление бесконечности на бесконечность не определено.
Неопределенные
Этап 5.4.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 5.4.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 5.4.3.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 5.4.3.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 5.4.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.4.3.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 5.4.3.6
Добавим и .
Этап 5.4.3.7
Умножим на .
Этап 5.4.3.8
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 5.4.3.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.4.3.10
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 5.4.3.11
Добавим и .
Этап 5.4.3.12
Умножим на .
Этап 5.4.3.13
Добавим и .
Этап 5.4.3.14
Вычтем из .
Этап 5.4.3.15
Добавим и .
Этап 5.4.3.16
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.4.4
Сократим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.4.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.4.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.4.4.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.4.4.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.4.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.4.4.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.5
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.5.1
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 5.5.2
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.5.2.1
Любой корень из равен .
Этап 5.5.2.2
Разделим на .
Этап 6
Вычислим , чтобы определить горизонтальную асимптоту.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.1
Перепишем в виде .
Этап 6.1.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 6.2
Разделим числитель и знаменатель на в наибольшей степени в знаменателе, т. е. .
Этап 6.3
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.1
Сократим общий множитель .
Этап 6.3.2
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 6.3.3
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 6.3.4
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 6.3.5
Внесем предел под знак радикала.
Этап 6.4
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.4.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.4.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 6.4.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.4.1.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.4.1.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.4.1.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.4.1.2.4
Изменим порядок и .
Этап 6.4.1.2.5
Возведем в степень .
Этап 6.4.1.2.6
Возведем в степень .
Этап 6.4.1.2.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 6.4.1.2.8
Упростим путем добавления членов.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.4.1.2.8.1
Добавим и .
Этап 6.4.1.2.8.2
Умножим на .
Этап 6.4.1.2.8.3
Добавим и .
Этап 6.4.1.2.8.4
Вычтем из .
Этап 6.4.1.2.9
Для многочлена четной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен бесконечности.
Этап 6.4.1.3
Для многочлена четной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен бесконечности.
Этап 6.4.1.4
Деление бесконечности на бесконечность не определено.
Неопределенные
Этап 6.4.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 6.4.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.4.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 6.4.3.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 6.4.3.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 6.4.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.4.3.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 6.4.3.6
Добавим и .
Этап 6.4.3.7
Умножим на .
Этап 6.4.3.8
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 6.4.3.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.4.3.10
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 6.4.3.11
Добавим и .
Этап 6.4.3.12
Умножим на .
Этап 6.4.3.13
Добавим и .
Этап 6.4.3.14
Вычтем из .
Этап 6.4.3.15
Добавим и .
Этап 6.4.3.16
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.4.4
Сократим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.4.4.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.4.4.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.4.4.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.4.4.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.4.4.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.4.4.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.5
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.5.1
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 6.5.2
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.5.2.1
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.5.2.1.1
Перепишем в виде .
Этап 6.5.2.1.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 6.5.2.2
Любой корень из равен .
Этап 6.5.2.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.5.2.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.5.2.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.5.2.4
Умножим на .
Этап 7
Перечислим горизонтальные асимптоты:
Этап 8
Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.
Не удается найти наклонные асимптоты
Этап 9
Это множество всех асимптот.
Вертикальные асимптоты:
Горизонтальные асимптоты:
Не удается найти наклонные асимптоты
Этап 10