Математический анализ Примеры

Найти асимптоты f(x)=(2e^x-6)/(e^x+1)
Этап 1
Найдем, где выражение не определено.
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 2
Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.
Нет вертикальных асимптот
Этап 3
Вычислим , чтобы определить горизонтальную асимптоту.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 3.1.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1.2.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 3.1.1.2.2
Поскольку функция стремится к , произведение положительной константы и функции стремится к .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1.2.2.1
Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной .
Этап 3.1.1.2.2.2
Поскольку показатель степени стремится к , величина стремится к .
Этап 3.1.1.2.3
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1.2.3.1
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 3.1.1.2.3.2
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1.2.3.2.1
Умножим на .
Этап 3.1.1.2.3.2.2
Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.
Этап 3.1.1.3
Найдем предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 3.1.1.3.2
Поскольку показатель степени стремится к , величина стремится к .
Этап 3.1.1.3.3
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 3.1.1.3.4
Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.
Этап 3.1.1.3.5
Деление бесконечности на бесконечность не определено.
Неопределенные
Этап 3.1.1.4
Деление бесконечности на бесконечность не определено.
Неопределенные
Этап 3.1.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 3.1.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 3.1.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.1.3.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.1.3.3.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 3.1.3.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.1.3.5
Добавим и .
Этап 3.1.3.6
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.1.3.7
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 3.1.3.8
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.1.3.9
Добавим и .
Этап 3.1.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.4.2
Разделим на .
Этап 3.2
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 4
Вычислим , чтобы определить горизонтальную асимптоту.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 4.1.2
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 4.1.3
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 4.2
Поскольку показатель степени стремится к , величина стремится к .
Этап 4.3
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 4.3.2
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 4.4
Поскольку показатель степени стремится к , величина стремится к .
Этап 4.5
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.5.1
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 4.5.2
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.5.2.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.5.2.1.1
Умножим на .
Этап 4.5.2.1.2
Умножим на .
Этап 4.5.2.1.3
Вычтем из .
Этап 4.5.2.2
Добавим и .
Этап 4.5.2.3
Разделим на .
Этап 5
Перечислим горизонтальные асимптоты:
Этап 6
Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.
Нет наклонных асимптот
Этап 7
Это множество всех асимптот.
Нет вертикальных асимптот
Горизонтальные асимптоты:
Нет наклонных асимптот
Этап 8