Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Этап 3.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Этап 3.1.1.2.2

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $2$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Этап 3.1.1.2.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Этап 3.1.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.3.1

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Этап 3.1.1.2.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.3.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{\infty - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Этап 3.1.1.2.3.2.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Этап 3.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 3.1.1.3.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 3.1.1.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

Этап 3.1.1.3.4

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.1.1.3.5

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Этап 3.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Этап 3.1.3.2

По правилу суммы производная $2 e^{x} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Этап 3.1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Этап 3.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Этап 3.1.3.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Этап 3.1.3.5

Добавим $2 e^{x}$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Этап 3.1.3.6

По правилу суммы производная $e^{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.1.3.7

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 3.1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 0}$

Этап 3.1.3.9

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Этап 3.1.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2$

Этап 3.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$2$

Этап 4

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Этап 4.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Этап 4.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Этап 4.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Этап 4.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Этап 4.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

Этап 4.4

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

Этап 4.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Этап 4.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{0 - 6}{0 + 1}$

Этап 4.5.2.1.3

Вычтем $6$ из $0$ .

$\frac{- 6}{0 + 1}$

Этап 4.5.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{- 6}{1}$

Этап 4.5.2.3

Разделим $- 6$ на $1$ .

$- 6$

Этап 5

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 2, - 6$

Этап 6

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 2, - 6$

Нет наклонных асимптот

Этап 8