Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ не определено.

$x = \ln (9)$

Этап 2

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

Этап 2.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

Этап 2.2.1.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

Этап 2.2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 9}$

Этап 2.2.1.3.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 9}$

Этап 2.2.1.3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 9}$

Этап 2.2.1.3.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - 9}$

Этап 2.2.1.3.3.2.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2.1.3.3.2.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2.1.3.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2.1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Этап 2.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Этап 2.2.3.3

По правилу суммы производная $e^{x} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 2.2.3.4

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 2.2.3.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}$

Этап 2.2.3.6

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 lim_{x \to \infty} 1$

Этап 2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

Этап 3.1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

Этап 3.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 9}$

Этап 3.4

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$2 \frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} 9}$

Этап 3.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 9}$

Этап 3.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $0 - 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 \cdot 9}$

Этап 3.5.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 9$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 (9)}$

Этап 3.5.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (0) - 1 (9)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 9)}$

Этап 3.5.2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $0$ .

$2 \frac{9 (0)}{- 1 (0 + 9)}$

Этап 3.5.2.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.5.1

Вынесем множитель $9$ из $- 1 (0 + 9)$ .

$2 \frac{9 (0)}{9 (- 1 (0 + 1))}$

Этап 3.5.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{9 \cdot 0}{9 (- 1 (0 + 1))}$

Этап 3.5.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 1)}$

Этап 3.5.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$2 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (\frac{0}{- 1})$

Этап 3.5.2.4

Разделим $0$ на $- 1$ .

$2 \cdot 0$

Этап 3.5.2.5

Умножим $2$ на $0$ .

$0$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 2, 0$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = \ln (9)$

Горизонтальные асимптоты: $y = 2, 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 7