Математический анализ Примеры

$\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.2.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + 0}}$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{3 + 0}{\sqrt{2 + 0}}$

Этап 3.6.1.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{3}{\sqrt{2 + 0}}$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Этап 3.6.3

Умножим $\frac{3}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.6.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.6.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.6.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.6.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.6.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.2.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.3

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.5

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

Этап 4.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{3 + 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

Этап 4.6.1.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{3}{- \sqrt{2 + 0}}$

Этап 4.6.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{3}{- \sqrt{2}}$

Этап 4.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{\sqrt{2}}$

Этап 4.6.4

Умножим $\frac{3}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 4.6.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.6.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 4.6.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 4.6.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.6.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.6.5.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 4.6.5.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 8