Математический анализ Примеры

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$ .

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$

Этап 2

Умножим обе части на $1 - e^{x}$ .

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $1 - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 + e^{x} = y (1 - e^{x})$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $y (1 - e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + e^{x} = y \cdot 1 + y (- e^{x})$

Этап 3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $y$ на $1$ .

$1 + e^{x} = y + y (- e^{x})$

Этап 3.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 + e^{x} = y - y e^{x}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $y e^{x}$ к обеим частям уравнения.

$1 + e^{x} + y e^{x} = y$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$e^{x} + y e^{x} = y - 1$

Этап 4.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} + y e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим на $1$ .

$e^{x} \cdot 1 + y e^{x} = y - 1$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $y e^{x}$ .

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} y = y - 1$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} \cdot 1 + e^{x} y$ .

$e^{x} (1 + y) = y - 1$

Этап 4.4

Разделим каждый член $e^{x} (1 + y) = y - 1$ на $1 + y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разделим каждый член $e^{x} (1 + y) = y - 1$ на $1 + y$ .

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Этап 4.4.2.1.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{x} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{x} = \frac{y - 1}{1 + y}$

Этап 4.5

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Этап 4.6

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Этап 4.6.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Этап 4.6.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$