Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x}{x^{2} + 9} = y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 9} = y$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2} + 9, 1$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x^{2} + 9, 1$

Этап 2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2} + 9$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x}{x^{2} + 9} = y$ умножим на $x^{2} + 9$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x^{2} + 9} = y$ на $x^{2} + 9$ .

$\frac{x}{x^{2} + 9} (x^{2} + 9) = y (x^{2} + 9)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x^{2} + 9} (x^{2} + 9) = y (x^{2} + 9)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x = y (x^{2} + 9)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = y x^{2} + y \cdot 9$

Этап 3.3.2

Перенесем $9$ влево от $y$ .

$x = y x^{2} + 9 y$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $y x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x - y x^{2} = 9 y$

Этап 4.2

Вычтем $9 y$ из обеих частей уравнения.

$x - y x^{2} - 9 y = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = - y$ , $b = 1$ и $c = - 9 y$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- y \cdot (- 9 y))}}{2 (- y)}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Перепишем $- 4 y \cdot (- 9 y)$ в виде ${(6 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - {(6 y)}^{2}}}{2 (- y)}$

Этап 4.5.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = 6 y$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{(1 + 6 y) (1 - (6 y))}}{2 (- y)}$

Этап 4.5.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 (- y)}$

Этап 4.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{- 2 y}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{- 1 \pm \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{- 2 y}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 y}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 y}$

$x = \frac{1 - \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 y}$

$x = \frac{1 + \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 y}$

$x = \frac{1 - \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 y}$