Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x^{2} - 5 x - 14}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{x^{2} - 5 x - 14} = y$ .

$\sqrt{x^{2} - 5 x - 14} = y$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2} - 5 x - 14}}^{2} = y^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 5 x - 14}$ в виде ${(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - 5 x - 14)}^{1} = y^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x^{2} - 5 x - 14 = y^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 5 x - 14 - y^{2} = 0$

Этап 4.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 5$ и $c = - 14 - y^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 14 - y^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 14 - y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 14 - y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 14 - 4 (- y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4

Умножим $- 4$ на $- 14$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56 - 4 (- y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56 + 4 y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.6

Добавим $25$ и $56$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2}$

Этап 4.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{5 + \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2}$

$x = \frac{5 - \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2}$

$x = \frac{5 + \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2}$

$x = \frac{5 - \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2}$