Математический анализ Примеры

$y = \ln (\frac{x}{x - 1})$

Этап 1

Умножим уравнение на $x - 1$ .

$(x - 1) (y) = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $(x - 1) (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x y - 1 y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Этап 2.1.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$x y - y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $(\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x + \ln (\frac{x}{x - 1}) \cdot - 1$

Этап 3.1.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $\ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - 1 \cdot \ln (\frac{x}{x - 1})$

Этап 3.1.2

Перепишем $- 1 \ln (\frac{x}{x - 1})$ в виде $- \ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$

Этап 3.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = x \ln (\frac{x}{x - 1}) - \ln (\frac{x}{x - 1})$

Этап 4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- x \ln (\frac{x}{x - 1}) + \ln (\frac{x}{x - 1}) = - x y + y$

Этап 5

Перепишем уравнение в виде $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$

Этап 6

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{x}{x - 1})} = e^{y}$

Этап 7

Перепишем $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{y} = \frac{x}{x - 1}$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим уравнение на $x - 1$ .

$(x - 1) (e^{y}) = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $(x - 1) (e^{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x e^{y} - 1 e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Этап 8.2.1.2

Перепишем $- 1 e^{y}$ в виде $- e^{y}$ .

$x e^{y} - e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x e^{y} - e^{y} = \frac{x}{x - 1} (x - 1)$

Этап 8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x e^{y} - e^{y} = x$

Этап 8.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x e^{y} - e^{y} - x = 0$

Этап 8.4.2

Добавим $e^{y}$ к обеим частям уравнения.

$x e^{y} - x = e^{y}$

Этап 8.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x e^{y} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x e^{y}$ .

$x (e^{y}) - x = e^{y}$

Этап 8.4.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$x (e^{y}) + x \cdot - 1 = e^{y}$

Этап 8.4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (e^{y}) + x \cdot - 1$ .

$x (e^{y} - 1) = e^{y}$

Этап 8.4.4

Разделим каждый член $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ на $e^{y} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.4.1

Разделим каждый член $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ на $e^{y} - 1$ .

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

Этап 8.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{y} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

Этап 8.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$