Математический анализ Примеры

$x^{4} - 8 x^{2} - 12 = 0$

Этап 1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 8 u - 12 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = - 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Добавим $64$ и $48$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Перепишем $112$ в виде $4^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $112$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{8 \pm 4 \sqrt{7}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{7}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 4 + 2 \sqrt{7}, 4 - 2 \sqrt{7}$

Этап 6

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 9.29150262$

${(x^{2})}^{1} = - 1.29150262$

Этап 7

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 9.29150262$

Этап 8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9.29150262}$

Этап 8.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{9.29150262}$

Этап 8.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{9.29150262}$

Этап 8.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{9.29150262}, - \sqrt{9.29150262}$

Этап 9

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1.29150262$

Этап 10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 1.29150262$

Этап 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.29150262}$

Этап 10.3

Упростим $\pm \sqrt{- 1.29150262}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем $- 1.29150262$ в виде $- 1 (1.29150262)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.29150262)}$

Этап 10.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (1.29150262)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.29150262}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.29150262}$

Этап 10.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.29150262}$

Этап 10.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{1.29150262}$

Этап 10.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{1.29150262}$

Этап 10.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{1.29150262}, - i \sqrt{1.29150262}$

Этап 11

Решением $x^{4} - 8 x^{2} - 12 = 0$ является $x = \sqrt{9.29150262}, - \sqrt{9.29150262}, i \sqrt{1.29150262}, - i \sqrt{1.29150262}$ .

$x = \sqrt{9.29150262}, - \sqrt{9.29150262}, i \sqrt{1.29150262}, - i \sqrt{1.29150262}$