Математический анализ Примеры

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$ , $0 < x < 2 π$

Этап 1

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2

Заменим $3 \sin^{2} (x)$ на $3 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 4

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 5

Упорядочим многочлен.

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Этап 7

Разделим каждый член $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Этап 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 9

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 10

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 10.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 11

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 12.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Этап 12.4

Упростим $2 π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 12.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 12.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 12.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Этап 12.4.3.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 12.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 13.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Этап 13.4

Упростим $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 13.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 13.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Этап 13.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Этап 13.4.3.2

Вычтем $5 π$ из $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 13.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{π}{6} + 2 π n$ и $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ в $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15.2

Объединим $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ и $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ в $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{6} + π (0)$

Этап 16.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Этап 16.1.2.2

Добавим $\frac{π}{6}$ и $0$ .

$\frac{π}{6}$

Этап 16.1.3

Интервал $(0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 16.2

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

Этап 16.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Этап 16.2.2.2

Добавим $\frac{5 π}{6}$ и $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Этап 16.2.3

Интервал $(0, 2 π)$ содержит $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Этап 16.3

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{π}{6} + π (1)$

Этап 16.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{π}{6} + π$

Этап 16.3.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Этап 16.3.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Этап 16.3.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

Этап 16.3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.2.4.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

Этап 16.3.2.4.2

Добавим $π$ и $6 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Этап 16.3.3

Интервал $(0, 2 π)$ содержит $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Этап 16.4

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $(0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

Этап 16.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{5 π}{6} + π$

Этап 16.4.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Этап 16.4.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Этап 16.4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

Этап 16.4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.2.4.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

Этап 16.4.2.4.2

Добавим $5 π$ и $6 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 16.4.3

Интервал $(0, 2 π)$ содержит $\frac{11 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$