Математический анализ Примеры

$f (x) = | x^{2} - 6 x + 5 |$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = | x^{2} - 6 x + 5 |$ . В данном случае получится точка $(- 2, 21)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 5 |$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = | 4 - 6 \cdot - 2 + 5 |$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $- 6$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | 4 + 12 + 5 |$

Этап 2.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Добавим $4$ и $12$ .

$f (- 2) = | 16 + 5 |$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $16$ и $5$ .

$f (- 2) = | 21 |$

Этап 2.1.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $21$ равно $21$ .

$f (- 2) = 21$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $21$ .

$y = 21$

Этап 2.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = | x^{2} - 6 x + 5 |$ . В данном случае получится точка $(- 1, 12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = | {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 5 |$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = | 1 - 6 \cdot - 1 + 5 |$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$f (- 1) = | 1 + 6 + 5 |$

Этап 2.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Добавим $1$ и $6$ .

$f (- 1) = | 7 + 5 |$

Этап 2.2.2.2.2

Добавим $7$ и $5$ .

$f (- 1) = | 12 |$

Этап 2.2.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $12$ равно $12$ .

$f (- 1) = 12$

Этап 2.2.2.4

Окончательный ответ: $12$ .

$y = 12$

Этап 2.3

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = | x^{2} - 6 x + 5 |$ . В данном случае получится точка $(0, 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = | {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 5 |$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = | 0 - 6 \cdot 0 + 5 |$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим $- 6$ на $0$ .

$f (0) = | 0 + 0 + 5 |$

Этап 2.3.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = | 0 + 5 |$

Этап 2.3.2.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$f (0) = | 5 |$

Этап 2.3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$f (0) = 5$

Этап 2.3.2.4

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Этап 2.4

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = | x^{2} - 6 x + 5 |$ . В данном случае получится точка $(1, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = | {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 5 |$

Этап 2.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = | 1 - 6 \cdot 1 + 5 |$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f (1) = | 1 - 6 + 5 |$

Этап 2.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Вычтем $6$ из $1$ .

$f (1) = | - 5 + 5 |$

Этап 2.4.2.2.2

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f (1) = | 0 |$

Этап 2.4.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 2.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 2, 21), (- 1, 12), (0, 5), (1, 0)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 21 \\ - 1 & 12 \\ 0 & 5 \\ 1 & 0 \end{array}$

Этап 3