Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 4$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{- 8 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.3.2.2

Добавим $- 8 x$ и $0$ .

$\frac{- 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{8 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- \frac{8 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Этап 2.1.1.6.5.3

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}]$

Этап 2.1.2.2

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}]}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}]}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.3.2

Умножим ${(x + 2)}^{2}$ на $1$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}]}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ и $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}])}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 2$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}])}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}])}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 2$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}])}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Перенесем $2$ влево от ${(x + 2)}^{2}$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 \cdot {(x + 2)}^{2} (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}])}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}])}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}])}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + 0) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}])}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) \cdot 1 + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}])}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}])}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 2$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x + 2]))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x + 2]))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2]))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1

Перенесем $2$ влево от ${(x - 2)}^{2}$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 \cdot {(x - 2)}^{2} (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.8.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [2]))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.8.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + 0))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.8.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) \cdot 1)}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.8.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$- 8 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.8.5.3

Объединим $- 8$ и $\frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 8 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.8.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.1

Применим правило умножения к ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$- \frac{8 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)) - x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}) + 8 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 8 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.4.1

Вынесем множитель $8 (x + 2) (x - 2)$ из $8 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 8 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 8 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.4.1.1

Вынесем множитель $8 (x + 2) (x - 2)$ из $8 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 8 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 8 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.1.2

Вынесем множитель $8 (x + 2) (x - 2)$ из $8 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)))$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 8 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 8 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.1.3

Вынесем множитель $8 (x + 2) (x - 2)$ из $8 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 8 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 8 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.1.4

Вынесем множитель $8 (x + 2) (x - 2)$ из $8 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 8 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2)))$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 8 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.1.5

Вынесем множитель $8 (x + 2) (x - 2)$ из $8 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 8 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2)) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.4.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.4.3.1

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x (x - 2) + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.4.3.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.2.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.4.3.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.4.3.5.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.6

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.4.3.8.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.3.9

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.4.4.1

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.4.2

Добавим $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ и $0$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.5

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 4 - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.4.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.5.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.9.5.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.9.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{8 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.1.2.9.5.3

Сократим общий множитель $x + 2$ и ${(x + 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.5.3.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $8 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$- \frac{(x + 2) ((8 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.1.2.9.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.5.3.2.1

Вынесем множитель $x + 2$ из ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$- \frac{(x + 2) ((8 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Этап 2.1.2.9.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{(x + 2) ((8 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Этап 2.1.2.9.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{(8 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.1.2.9.5.4

Сократим общий множитель $x - 2$ и ${(x - 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.5.4.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $8 (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$- \frac{(x - 2) (8 (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.1.2.9.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.5.4.2.1

Вынесем множитель $x - 2$ из ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$- \frac{(x - 2) (8 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Этап 2.1.2.9.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{(x - 2) (8 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Этап 2.1.2.9.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{8 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.1.2.9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{8 (- (3 x^{2}) - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.1.2.9.7

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$- \frac{8 (- (3 x^{2}) - 1 (4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.1.2.9.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (4)$ .

$- \frac{8 (- (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.1.2.9.9

Перепишем $- (3 x^{2} + 4)$ в виде $- 1 (3 x^{2} + 4)$ .

$- \frac{8 (- 1 (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.1.2.9.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{8 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.1.2.9.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{8 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.1.2.9.12

Умножим $\frac{8 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{8 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{8 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{8 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{8 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$8 (3 x^{2} + 4) = 0$

Этап 2.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $8 (3 x^{2} + 4) = 0$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разделим каждый член $8 (3 x^{2} + 4) = 0$ на $8$ .

$\frac{8 (3 x^{2} + 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 2.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (3 x^{2} + 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 2.2.3.1.2.1.2

Разделим $3 x^{2} + 4$ на $1$ .

$3 x^{2} + 4 = \frac{0}{8}$

Этап 2.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $8$ .

$3 x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = - 4$

Этап 2.2.3.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.2.3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.2.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Этап 2.2.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Этап 2.2.3.5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Перепишем $- \frac{4}{3}$ в виде $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Этап 2.2.3.5.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Этап 2.2.3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Этап 2.2.3.5.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 2.2.3.5.4

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.5.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.5.6

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 2.2.3.5.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.7.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.5.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.5.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.2.3.5.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.2.3.5.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.2.3.5.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.3.5.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.3.5.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.3.5.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.3.5.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.2.3.5.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.3.5.8

Объединим $i$ и $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 2.2.3.5.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Этап 3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 2, - 2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 2, - 2}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 2)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 (3 {(- 4)}^{2} + 4)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 (3 \cdot 16 + 4)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 (48 + 4)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Этап 5.2.1.3

Добавим $48$ и $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 52}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 4$ и $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 52}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

Этап 5.2.2.4

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 52}{- 8 \cdot - 216}$

Этап 5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $8$ на $52$ .

$f'' (- 4) = \frac{416}{- 8 \cdot - 216}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 8$ на $- 216$ .

$f'' (- 4) = \frac{416}{1728}$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $416$ и $1728$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Вынесем множитель $32$ из $416$ .

$f'' (- 4) = \frac{32 (13)}{1728}$

Этап 5.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $32$ из $1728$ .

$f'' (- 4) = \frac{32 \cdot 13}{32 \cdot 54}$

Этап 5.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 4) = \frac{32 \cdot 13}{32 \cdot 54}$

Этап 5.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 4) = \frac{13}{54}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $\frac{13}{54}$ .

$\frac{13}{54}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- 2, 2)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{8 (3 {(0)}^{2} + 4)}{{((0) + 2)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{8 (3 \cdot 0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{8 (0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Добавим $0$ и $4$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 4}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 4}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Применим правило умножения к $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 4}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Этап 6.2.2.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Этап 6.2.2.6

Умножим ${(0 - 2)}^{3}$ на ${(0 - 2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1

Перенесем ${(0 - 2)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Этап 6.2.2.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3}}$

Этап 6.2.2.6.3

Добавим $3$ и $3$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Этап 6.2.3

Умножим $8$ на $4$ .

$f'' (0) = \frac{32}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Этап 6.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$f'' (0) = \frac{32}{- 1 {(- 2)}^{6}}$

Этап 6.2.4.2

Возведем $- 2$ в степень $6$ .

$f'' (0) = \frac{32}{- 1 \cdot 64}$

Этап 6.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $- 1$ на $64$ .

$f'' (0) = \frac{32}{- 64}$

Этап 6.2.5.2

Сократим общий множитель $32$ и $- 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.1

Вынесем множитель $32$ из $32$ .

$f'' (0) = \frac{32 (1)}{- 64}$

Этап 6.2.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.2.1

Вынесем множитель $32$ из $- 64$ .

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot - 2}$

Этап 6.2.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot - 2}$

Этап 6.2.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{1}{- 2}$

Этап 6.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(- 2, 2)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- 2, 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(2, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (3 {(4)}^{2} + 4)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (3 \cdot 16 + 4)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f'' (4) = \frac{8 (48 + 4)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Этап 7.2.1.3

Добавим $48$ и $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 52}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $4$ и $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 52}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 52}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 52}{216 \cdot 2^{3}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 52}{216 \cdot 8}$

Этап 7.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $8$ на $52$ .

$f'' (4) = \frac{416}{216 \cdot 8}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $216$ на $8$ .

$f'' (4) = \frac{416}{1728}$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $416$ и $1728$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $32$ из $416$ .

$f'' (4) = \frac{32 (13)}{1728}$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $32$ из $1728$ .

$f'' (4) = \frac{32 \cdot 13}{32 \cdot 54}$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (4) = \frac{32 \cdot 13}{32 \cdot 54}$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (4) = \frac{13}{54}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $\frac{13}{54}$ .

$\frac{13}{54}$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- 2, 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 9