Математический анализ Примеры

$y = 2 x - x^{2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Этап 1.1.2

Составим полный квадрат для $- x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Этап 1.1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.1.2.3.2.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Этап 1.1.2.4.2.1.3

Разделим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Этап 1.1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Этап 1.1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$e = 1$

Этап 1.1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(x - 1)}^{2} + 1$

Этап 1.1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - {(x - 1)}^{2} + 1$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(1, 1)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, \frac{3}{4})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 1$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{5}{4}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, 1)$

Фокус: $(1, \frac{3}{4})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = \frac{5}{4}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, 1)$

Фокус: $(1, \frac{3}{4})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = \frac{5}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - {(0)}^{2} + 2 (0)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - 0 + 2 (0)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0)$

Этап 2.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Этап 2.5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 2 (- 1)$

Этап 2.5.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 2 (- 1)$

Этап 2.5.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = - 1 + 2 (- 1)$

Этап 2.5.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 2$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f (- 1) = - 3$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{2} + 2 (2)$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 2 (2)$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = - 4 + 2 (2)$

Этап 2.8.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2) = - 4 + 4$

Этап 2.8.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f (2) = 0$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 2$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - {(3)}^{2} + 2 (3)$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 2 (3)$

Этап 2.11.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (3) = - 9 + 2 (3)$

Этап 2.11.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f (3) = - 9 + 6$

Этап 2.11.2

Добавим $- 9$ и $6$ .

$f (3) = - 3$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 3$ равно $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & - 3 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, 1)$

Фокус: $(1, \frac{3}{4})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & - 3 \end{array}$

Этап 4