Математический анализ Примеры

$y = 14 x - 2 x^{2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Изменим порядок $14 x$ и $- 2 x^{2}$ .

$y = - 2 x^{2} + 14 x$

Этап 1.1.2

Составим полный квадрат для $- 2 x^{2} + 14 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 2$

$b = 14$

$c = 0$

Этап 1.1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{14}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $14$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (- 2)}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{7}{- 2}$

Этап 1.1.2.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{7}{2}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{14^{2}}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.1

Возведем $14$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$e = 0 - \frac{196}{- 8}$

Этап 1.1.2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $196$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $196$ .

$e = 0 - \frac{4 (49)}{- 8}$

Этап 1.1.2.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.2.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.1.2.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{49}{- 2}$

Этап 1.1.2.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = 0 - - \frac{49}{2}$

Этап 1.1.2.4.2.1.5

Умножим $- - \frac{49}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{49}{2})$

Этап 1.1.2.4.2.1.5.2

Умножим $\frac{49}{2}$ на $1$ .

$e = 0 + \frac{49}{2}$

Этап 1.1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $\frac{49}{2}$ .

$e = \frac{49}{2}$

Этап 1.1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$ .

$- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

Этап 1.1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 2$

$h = \frac{7}{2}$

$k = \frac{49}{2}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{7}{2}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{197}{8}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Фокус: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Ось симметрии: $x = \frac{7}{2}$

Директриса: $y = \frac{197}{8}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Фокус: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Ось симметрии: $x = \frac{7}{2}$

Директриса: $y = \frac{197}{8}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - 2 {(3)}^{2} + 14 (3)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = - 2 \cdot 9 + 14 (3)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $9$ .

$f (3) = - 18 + 14 (3)$

Этап 2.2.1.3

Умножим $14$ на $3$ .

$f (3) = - 18 + 42$

Этап 2.2.2

Добавим $- 18$ и $42$ .

$f (3) = 24$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $24$ .

$24$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 3$ равно $24$ .

$y = 24$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - 2 {(2)}^{2} + 14 (2)$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 2 \cdot 4 + 14 (2)$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f (2) = - 8 + 14 (2)$

Этап 2.5.1.3

Умножим $14$ на $2$ .

$f (2) = - 8 + 28$

Этап 2.5.2

Добавим $- 8$ и $28$ .

$f (2) = 20$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $20$ .

$20$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 2$ равно $20$ .

$y = 20$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = - 2 {(5)}^{2} + 14 (5)$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = - 2 \cdot 25 + 14 (5)$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 2$ на $25$ .

$f (5) = - 50 + 14 (5)$

Этап 2.8.1.3

Умножим $14$ на $5$ .

$f (5) = - 50 + 70$

Этап 2.8.2

Добавим $- 50$ и $70$ .

$f (5) = 20$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $20$ .

$20$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 5$ равно $20$ .

$y = 20$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = - 2 {(6)}^{2} + 14 (6)$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = - 2 \cdot 36 + 14 (6)$

Этап 2.11.1.2

Умножим $- 2$ на $36$ .

$f (6) = - 72 + 14 (6)$

Этап 2.11.1.3

Умножим $14$ на $6$ .

$f (6) = - 72 + 84$

Этап 2.11.2

Добавим $- 72$ и $84$ .

$f (6) = 12$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $12$ .

$12$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 6$ равно $12$ .

$y = 12$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Фокус: $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Ось симметрии: $x = \frac{7}{2}$

Директриса: $y = \frac{197}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

Этап 4