Математический анализ Примеры

$x = y^{2} - 5 y$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $y^{2} - 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{5}{2}$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Вычтем $\frac{25}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{25}{4}$

$k = \frac{5}{2}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 6, \frac{5}{2})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = \frac{5}{2}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{13}{2}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Фокус: $(- 6, \frac{5}{2})$

Ось симметрии: $y = \frac{5}{2}$

Директриса: $x = - \frac{13}{2}$

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Фокус: $(- 6, \frac{5}{2})$

Ось симметрии: $y = \frac{5}{2}$

Директриса: $x = - \frac{13}{2}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значение $x$ $- 5.25$ в $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . В данном случае получится точка $(- 5.25, 3.5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Умножим $4$ на $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 21}}{2}$

Этап 2.1.2.1.2

Вычтем $21$ из $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{4}}{2}$

Этап 2.1.2.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Этап 2.1.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 5.25) = \frac{5 + 2}{2}$

Этап 2.1.2.1.5

Добавим $5$ и $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель $7$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Перепишем $7$ в виде $1 (7)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (7)}{2}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Перепишем $2$ в виде $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Этап 2.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Этап 2.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{7}{2}$

Этап 2.1.3

Преобразуем $\frac{7}{2}$ в десятичное представление.

$= 3.5$

Этап 2.2

Подставим значение $x$ $- 5.25$ в $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . В данном случае получится точка $(- 5.25, 1.5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $4$ на $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 21}}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Вычтем $21$ из $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{4}}{2}$

Этап 2.2.2.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Этап 2.2.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 5.25) = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 2.2.2.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - 2}{2}$

Этап 2.2.2.1.6

Вычтем $2$ из $5$ .

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель $3$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Перепишем $3$ в виде $1 (3)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (3)}{2}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.2.1

Перепишем $2$ в виде $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Этап 2.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Этап 2.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Этап 2.2.2.3

Окончательный ответ: $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Этап 2.2.3

Преобразуем $\frac{3}{2}$ в десятичное представление.

$= 1.5$

Этап 2.3

Подставим значение $x$ $- 4.25$ в $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . В данном случае получится точка $(- 4.25, \frac{5 + \sqrt{8}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $4$ на $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 17}}{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Вычтем $17$ из $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Этап 2.3.2.2

Окончательный ответ: $\frac{5 + \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Этап 2.4

Подставим значение $x$ $- 4.25$ в $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . В данном случае получится точка $(- 4.25, \frac{5 - \sqrt{8}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Этап 2.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $4$ на $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 17}}{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Вычтем $17$ из $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Этап 2.4.2.2

Окончательный ответ: $\frac{5 - \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Этап 2.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Фокус: $(- 6, \frac{5}{2})$

Ось симметрии: $y = \frac{5}{2}$

Директриса: $x = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Этап 4