Математический анализ Примеры

$x \sqrt{2 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем область определения $y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 2$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Этап 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Этап 1.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Этап 1.2.5

Запишем $| x | \leq \sqrt{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \sqrt{2}$

Этап 1.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Этап 1.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.2.6

Найдем пересечение $x \leq \sqrt{2}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Этап 1.2.7

Решим $- x \leq \sqrt{2}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 1.2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 1.2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Этап 1.2.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Этап 1.2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - \sqrt{2}$ и $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Этап 1.2.8

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Обозначение построения множества:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Интервальное представление:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Обозначение построения множества:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Этап 2

Чтобы найти конечные точки, подставим граничные значения $x$ из области определения в $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{2 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 2.2.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 2.2.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 2.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.2.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Этап 2.2.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 2.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0}$

Этап 2.2.5.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.5.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot 0$

Этап 2.2.6

Умножим $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Этап 2.2.6.2

Умножим $0$ на $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0$

Этап 2.2.7

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

Этап 2.4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 2.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 2.4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 2.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 2.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Этап 2.4.2.5

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 1 \cdot 2)}$

Этап 2.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Этап 2.4.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Этап 2.4.3.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0}$

Этап 2.4.3.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\sqrt{2}) = 0$

Этап 2.4.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3

Конечные точки: $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$ .

$(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$

Этап 4

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0),$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Этап 5