Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{5}{2} x^{2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{2}$

Этап 1.1.2

Составим полный квадрат для $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{5}{2}$

$b = 0$

$c = 0$

Этап 1.1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{5}{2})}$

Этап 1.1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{5}{2})}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{5}{2})}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{\frac{5}{2}}$

Этап 1.1.2.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 0 (\frac{2}{5})$

Этап 1.1.2.3.2.3

Умножим $0$ на $\frac{2}{5}$ .

$d = 0$

Этап 1.1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{5}{2})}$

Этап 1.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{5}{2})}$

Этап 1.1.2.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{5}{2}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 5}{2}}$

Этап 1.1.2.4.2.1.3

Умножим $4$ на $5$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{20}{2}}$

Этап 1.1.2.4.2.1.4

Разделим $20$ на $2$ .

$e = 0 - \frac{0}{10}$

Этап 1.1.2.4.2.1.5

Разделим $0$ на $10$ .

$e = 0 - 0$

Этап 1.1.2.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 0 + 0$

Этап 1.1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$e = 0$

Этап 1.1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{5}{2} x^{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{2}$

Этап 1.1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{5}{2} x^{2}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{5}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{5}{2}}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{2}}$

Этап 1.5.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{1}{\frac{20}{2}}$

Этап 1.5.3.2.2

Разделим $20$ на $2$ .

$\frac{1}{10}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, \frac{1}{10})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1}{10}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{1}{10})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{1}{10}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{1}{10})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{1}{10}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{2}}{2}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель ${(- 2)}^{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{5 {(- 1 \cdot 2)}^{2}}{2}$

Этап 2.2.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{5 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2}$

Этап 2.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{5 (1 \cdot 2^{2})}{2}$

Этап 2.2.1.4

Умножим $2^{2}$ на $1$ .

$f (- 2) = \frac{5 \cdot 2^{2}}{2}$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $5 \cdot 2^{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2}$

Этап 2.2.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- 2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 (1)}$

Этап 2.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = \frac{5 \cdot 2}{1}$

Этап 2.2.1.6.4

Разделим $5 \cdot 2$ на $1$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 2$

Этап 2.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$f (- 2) = 10$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $10$ .

$10$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $10$ .

$y = 10$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{5 {(- 1)}^{2}}{2}$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{5 \cdot 1}{2}$

Этап 2.5.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f (- 1) = \frac{5}{2}$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{5 {(2)}^{2}}{2}$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Сократим общий множитель ${(2)}^{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $5 {(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2}$

Этап 2.8.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 (1)}$

Этап 2.8.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = \frac{5 \cdot 2}{1}$

Этап 2.8.1.2.4

Разделим $5 \cdot 2$ на $1$ .

$f (2) = 5 \cdot 2$

Этап 2.8.2

Умножим $5$ на $2$ .

$f (2) = 10$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $10$ .

$10$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 2$ равно $10$ .

$y = 10$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{5 {(1)}^{2}}{2}$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{5 \cdot 1}{2}$

Этап 2.11.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f (1) = \frac{5}{2}$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 1$ равно $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 10 \\ - 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{5}{2} \\ 2 & 10 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{1}{10})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{1}{10}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 10 \\ - 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{5}{2} \\ 2 & 10 \end{array}$

Этап 4