Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 7}$ в виде ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 7}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 7}$

Этап 3.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

Этап 3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Этап 3.1.3.4

Разделим $2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.1.4

Перенесем ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3

Перепишем ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x^{2} + 7}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

Этап 3.4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 3.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 3.5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 3.5.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 3.5.5

Внесем предел под знак радикала.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 3.5.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 3.5.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 3.5.8

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Умножим $7$ на $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Этап 3.7.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 3.7.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{1})$

Этап 3.7.2.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 1$

Этап 3.7.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 7}$ в виде ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 7}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 7}$

Этап 4.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

Этап 4.1.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

Этап 4.1.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Этап 4.1.3.4

Разделим $2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} 2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.1.4

Перенесем ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Перепишем ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x^{2} + 7}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

Этап 4.4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 4.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 4.5.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сократим общий множитель.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 4.5.2.2

Перепишем это выражение.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 4.5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 4.5.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 4.5.5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 4.5.6

Внесем предел под знак радикала.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 4.5.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 4.5.8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

Этап 4.5.9

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.6

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

Этап 4.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

Этап 4.7.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0}})$

Этап 4.7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Умножим $7$ на $0$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}})$

Этап 4.7.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

Этап 4.7.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$2 (- \frac{1}{1})$

Этап 4.7.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1

Сократим общий множитель.

$2 (- \frac{1}{1})$

Этап 4.7.3.2

Перепишем это выражение.

$2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.7.4

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1$

Этап 4.7.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2$

Этап 5

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 2, - 2$

Этап 6

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 2, - 2$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 8