Математический анализ Примеры

$- 4 x^{2} - y^{2} + 6 x + 2 y - y + 16 - 10 x - 27 + 3 y + 5 - 3 y^{2} + 5 x^{2} - y^{2} = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Этап 1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 = x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

Этап 2

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} = - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

Этап 2.2

Добавим $5 y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} = - 4 x + 4 y - 6$

Этап 2.3

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x = 4 y - 6$

Этап 2.4

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Этап 2.5

Вычтем $30$ из $9$ .

$- 6 y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Этап 2.6

Добавим $- 6 y^{2}$ и $5 y^{2}$ .

$- y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Этап 2.7

Добавим $- 4 y$ и $y$ .

$- y^{2} - 3 y - 21 + 10 x + 17 - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Этап 2.8

Вычтем $3 y$ из $- 3 y$ .

$- y^{2} - 6 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Этап 2.9

Вычтем $4 y$ из $- 6 y$ .

$- y^{2} - 10 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

Этап 2.10

Добавим $- 21$ и $17$ .

$- y^{2} - 10 y + 10 x - 4 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

Этап 2.11

Добавим $10 x$ и $4 x$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 4 - 60 - x^{2} = - 6$

Этап 2.12

Вычтем $60$ из $- 4$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 64 - x^{2} = - 6$

Этап 2.13

Перенесем $- 64$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - x^{2} - 64 = - 6$

Этап 2.14

Перенесем $- 10 y$ .

$- y^{2} + 14 x - x^{2} - 10 y - 64 = - 6$

Этап 2.15

Перенесем $14 x$ .

$- y^{2} - x^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

Этап 2.16

Изменим порядок $- y^{2}$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

Этап 3

Перенесем все члены с переменными в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = - 6 + 64$

Этап 3.2

Добавим $- 6$ и $64$ .

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = 58$

Этап 4

Разделим обе части уравнения на $- 1$ .

$x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$

Этап 5

Составим полный квадрат для $x^{2} - 14 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 14$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 14}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $- 14$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 14$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 7}{1}$

Этап 5.3.2.2.4

Разделим $- 7$ на $1$ .

$d = - 7$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 14)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $- 14$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{196}{4}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $196$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $49$ .

$e = 0 - 49$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $49$ из $0$ .

$e = - 49$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 7)}^{2} - 49$ .

${(x - 7)}^{2} - 49$

Этап 6

Подставим ${(x - 7)}^{2} - 49$ вместо $x^{2} - 14 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ .

${(x - 7)}^{2} - 49 + y^{2} + 10 y = - 58$

Этап 7

Перенесем $- 49$ в правую часть уравнения, прибавив $49$ к обеим частям.

${(x - 7)}^{2} + y^{2} + 10 y = - 58 + 49$

Этап 8

Составим полный квадрат для $y^{2} + 10 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Этап 8.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 8.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{1}$

Этап 8.3.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$d = 5$

Этап 8.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Этап 8.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Этап 8.4.2.1.3

Разделим $100$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Этап 8.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$e = 0 - 25$

Этап 8.4.2.2

Вычтем $25$ из $0$ .

$e = - 25$

Этап 8.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 5)}^{2} - 25$ .

${(y + 5)}^{2} - 25$

Этап 9

Подставим ${(y + 5)}^{2} - 25$ вместо $y^{2} + 10 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} - 25 = - 58 + 49$

Этап 10

Перенесем $- 25$ в правую часть уравнения, прибавив $25$ к обеим частям.

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 58 + 49 + 25$

Этап 11

Упростим $- 58 + 49 + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $- 58$ и $49$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 9 + 25$

Этап 11.2

Добавим $- 9$ и $25$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 16$

Этап 12

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 13

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = 4$

$h = 7$

$k = - 5$

Этап 14

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(7, - 5)$

Этап 15

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(7, - 5)$

Радиус: $4$

Этап 16