Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $x^{2} + 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 4$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 4 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 4 - \frac{4}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 4 - \frac{4}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 4 - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 4 - 1$

Этап 1.1.1.4.2.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$e = 3$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 1)}^{2} + 3$ .

${(x + 1)}^{2} + 3$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x + 1)}^{2} + 3$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - 1$

$k = 3$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 1, 3)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 1, \frac{13}{4})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 1$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{11}{4}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 1, 3)$

Фокус: $(- 1, \frac{13}{4})$

Ось симметрии: $x = - 1$

Директриса: $y = \frac{11}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 1, 3)$

Фокус: $(- 1, \frac{13}{4})$

Ось симметрии: $x = - 1$

Директриса: $y = \frac{11}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 2 (- 2) + 4$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 4 + 2 (- 2) + 4$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 4 + 4$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (- 2) = 0 + 4$

Этап 2.2.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$f (- 2) = 4$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 2 (- 3) + 4$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = 9 + 2 (- 3) + 4$

Этап 2.5.1.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 6 + 4$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $6$ из $9$ .

$f (- 3) = 3 + 4$

Этап 2.5.2.2

Добавим $3$ и $4$ .

$f (- 3) = 7$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $7$ .

$7$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 3$ равно $7$ .

$y = 7$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} + 2 (0) + 4$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) + 4$

Этап 2.8.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4$

Этап 2.8.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 4$

Этап 2.8.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$f (0) = 4$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 0$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} + 2 (1) + 4$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 + 2 (1) + 4$

Этап 2.11.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = 1 + 2 + 4$

Этап 2.11.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$f (1) = 3 + 4$

Этап 2.11.2.2

Добавим $3$ и $4$ .

$f (1) = 7$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $7$ .

$7$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 1$ равно $7$ .

$y = 7$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 7 \\ - 2 & 4 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 4 \\ 1 & 7 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 1, 3)$

Фокус: $(- 1, \frac{13}{4})$

Ось симметрии: $x = - 1$

Директриса: $y = \frac{11}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 7 \\ - 2 & 4 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 4 \\ 1 & 7 \end{array}$

Этап 4