Математический анализ Примеры

$x^{2} e^{- x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $x^{2} e^{- x}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} x^{2} e^{- x}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $x^{2} e^{- x}$ в виде $\frac{x^{2}}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

Этап 3.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 3.2.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 3.2.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3.2.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

Этап 3.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Этап 3.4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 3.4.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 3.4.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3.4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3.4.3.3

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Этап 3.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{e^{x}}$ стремится к $0$ .

$2 \cdot 0$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $0$ .

$0$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 7