Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{2} + 6 x - 11$ , $x = - 2$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$y = 5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$

Этап 1.2

Упростим $5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = 5 \cdot 4 + 6 (- 2) - 11$

Этап 1.2.1.2

Умножим $5$ на $4$ .

$y = 20 + 6 (- 2) - 11$

Этап 1.2.1.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$y = 20 - 12 - 11$

Этап 1.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вычтем $12$ из $20$ .

$y = 8 - 11$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $11$ из $8$ .

$y = - 3$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 2$ и $y = - 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 6 x - 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]$

Этап 2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$10 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 11]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 x + 6 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $10 x + 6$ и $0$ .

$10 x + 6$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = - 2$ .

$10 (- 2) + 6$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $10$ на $- 2$ .

$- 20 + 6$

Этап 2.6.2

Добавим $- 20$ и $6$ .

$- 14$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 14$ и координаты заданной точки $(- 2, - 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = - 14 \cdot (x - (- 2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 14 \cdot (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + 3 = 0 + 0 - 14 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 3 = - 14 x - 14 \cdot 2$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 14$ на $2$ .

$y + 3 = - 14 x - 28$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = - 14 x - 28 - 3$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $3$ из $- 28$ .

$y = - 14 x - 31$

Этап 4