Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{2} - 9 x + 7$ , $(2, 1)$

Этап 1

Найдем производную функции. Чтобы найти угловой коэффициент касательной к данной кривой, вычислим производную при искомом значении $x$ .

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} - 9 x + 7)$

Этап 2

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 9 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.3

Умножим $- 9$ на $1$ .

$6 x - 9 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x - 9 + 0$

Этап 5.2

Добавим $6 x - 9$ и $0$ .

$6 x - 9$

Этап 6

Производную уравнения по $y$ также можно представить как $f' (x)$ .

$f' (x) = 6 x - 9$

Этап 7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 6 (2) - 9$

Этап 8

Умножим $6$ на $2$ .

$f' (2) = 12 - 9$

Этап 9

Вычтем $9$ из $12$ .

$f' (2) = 3$

Этап 10

Производная при $(2, 1)$ : $3$ .

$3$