Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $x^{2} + 4$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.8

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.10

Перепишем $- (x^{2} - 2 x - 4)$ в виде $- 1 (x^{2} - 2 x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.3.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Этап 2.3.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.3.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Этап 2.3.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Этап 2.3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.3.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Этап 2.3.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Этап 2.3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1 + \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1 + \sqrt{5}$ вместо $x$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) - 1}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + \sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Этап 4.1.2.1.2

Добавим $0$ и $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{5})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ .

$\frac{\sqrt{5}}{(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Этап 4.1.2.2.2

Развернем $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5}}{1 (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Этап 4.1.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Этап 4.1.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Этап 4.1.2.2.3.1.2

Умножим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Этап 4.1.2.2.3.1.3

Умножим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Этап 4.1.2.2.3.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5} + 4}$

Этап 4.1.2.2.3.1.5

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{25} + 4}$

Этап 4.1.2.2.3.1.6

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}} + 4}$

Этап 4.1.2.2.3.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 5 + 4}$

Этап 4.1.2.2.3.2

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 4}$

Этап 4.1.2.2.3.3

Добавим $\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5} + 4}$

Этап 4.1.2.2.4

Добавим $6$ и $4$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ на $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Этап 4.1.2.4

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ на $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{(10 + 2 \sqrt{5}) (10 - 2 \sqrt{5})}$

Этап 4.1.2.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{100 - 20 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 4.1.2.6

Упростим.

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{80}$

Этап 4.1.2.7

Сократим общий множитель $10 - 2 \sqrt{5}$ и $80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{80}$

Этап 4.1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $80$ .

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Этап 4.1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Этап 4.1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{40}$

Этап 4.1.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Этап 4.1.2.9

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Этап 4.1.2.10

Умножим $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{40}$

Этап 4.1.2.10.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{40}$

Этап 4.1.2.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{40}$

Этап 4.1.2.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{40}$

Этап 4.1.2.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.11.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.11.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{40}$

Этап 4.1.2.11.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{40}$

Этап 4.1.2.11.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Этап 4.1.2.11.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.11.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Этап 4.1.2.11.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{1}}{40}$

Этап 4.1.2.11.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{40}$

Этап 4.1.2.11.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5}{40}$

Этап 4.1.2.12

Сократим общий множитель $5 \sqrt{5} - 5$ и $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (\sqrt{5}) - 5}{40}$

Этап 4.1.2.12.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)}{40}$

Этап 4.1.2.12.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)$ .

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{40}$

Этап 4.1.2.12.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.4.1

Вынесем множитель $5$ из $40$ .

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 (8)}$

Этап 4.1.2.12.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 \cdot 8}$

Этап 4.1.2.12.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5} - 1}{8}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 1 - \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $1 - \sqrt{5}$ вместо $x$ .

$\frac{(1 - \sqrt{5}) - 1}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 - \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Этап 4.2.2.1.2

Вычтем $\sqrt{5}$ из $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Перепишем ${(1 - \sqrt{5})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Этап 4.2.2.2.2

Развернем $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 (1 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Этап 4.2.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Этап 4.2.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Этап 4.2.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.2

Умножим $- \sqrt{5}$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4

Умножим $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{1} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5 + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.2

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 4}$

Этап 4.2.2.2.3.3

Вычтем $\sqrt{5}$ из $- \sqrt{5}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5} + 4}$

Этап 4.2.2.2.4

Добавим $6$ и $4$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Этап 4.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Этап 4.2.2.4

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ на $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- (\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}})$

Этап 4.2.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ на $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{(10 - 2 \sqrt{5}) (10 + 2 \sqrt{5})}$

Этап 4.2.2.5.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{100 + 20 \sqrt{5} - 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 4.2.2.5.3

Упростим.

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{80}$

Этап 4.2.2.5.4

Сократим общий множитель $10 + 2 \sqrt{5}$ и $80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})$ .

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{80}$

Этап 4.2.2.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $80$ .

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Этап 4.2.2.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Этап 4.2.2.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{5} (5 + \sqrt{5})}{40}$

Этап 4.2.2.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Этап 4.2.2.5.6

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{5}$ .

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Этап 4.2.2.5.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{40}$

Этап 4.2.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1

Умножим $5$ на $5$ .

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{40}$

Этап 4.2.2.6.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{40}$

Этап 4.2.2.6.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{5 \sqrt{5} + 5}{40}$

Этап 4.2.2.7

Сократим общий множитель $5 \sqrt{5} + 5$ и $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.7.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{5}$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5}{40}$

Этап 4.2.2.7.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (1)}{40}$

Этап 4.2.2.7.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (\sqrt{5}) + 5 (1)$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{40}$

Этап 4.2.2.7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.7.4.1

Вынесем множитель $5$ из $40$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 (8)}$

Этап 4.2.2.7.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 \cdot 8}$

Этап 4.2.2.7.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(1 + \sqrt{5}, \frac{\sqrt{5} - 1}{8}), (1 - \sqrt{5}, - \frac{\sqrt{5} + 1}{8})$

Этап 5