Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{8}$ и $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $7$ на $1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $8$ влево от ${(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ из $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Вынесем множитель $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ из $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Этап 1.1.4.1.2

Вынесем множитель $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ из $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

Этап 1.1.4.1.3

Вынесем множитель $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ из $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

Этап 1.1.4.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{7}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{7}$ к $0$ .

$x^{7} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{7} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

Этап 2.3.2.2

Упростим $\sqrt[7]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{7}$ .

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x - 1)}^{6}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x - 1)}^{6}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{6} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x - 1)}^{6} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $7 x + 8 (x - 1)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $7 x + 8 (x - 1)$ к $0$ .

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $7 x + 8 (x - 1) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $7 x + 8 (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

Этап 2.5.2.1.1.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$7 x + 8 x - 8 = 0$

Этап 2.5.2.1.2

Добавим $7 x$ и $8 x$ .

$15 x - 8 = 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$15 x = 8$

Этап 2.5.2.3

Разделим каждый член $15 x = 8$ на $15$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим каждый член $15 x = 8$ на $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Этап 2.5.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.2.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Этап 2.5.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8}{15}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ верно.

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{7}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$0 {(- 1)}^{7}$

Этап 4.1.2.3

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$0 \cdot - 1$

Этап 4.1.2.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 {((1) - 1)}^{7}$

Этап 4.2.2.2

Умножим ${((1) - 1)}^{7}$ на $1$ .

${((1) - 1)}^{7}$

Этап 4.2.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$0^{7}$

Этап 4.2.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{8}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{8}{15}$ вместо $x$ .

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Этап 4.3.2.2

Возведем $8$ в степень $8$ .

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Этап 4.3.2.3

Возведем $15$ в степень $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Этап 4.3.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

Этап 4.3.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Этап 4.3.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Этап 4.3.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.7.1

Умножим $- 1$ на $15$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

Этап 4.3.2.7.2

Вычтем $15$ из $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

Этап 4.3.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

Этап 4.3.2.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

Этап 4.3.2.9.2

Применим правило умножения к $\frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Этап 4.3.2.10

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Этап 4.3.2.11

Возведем $7$ в степень $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

Этап 4.3.2.12

Возведем $15$ в степень $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

Этап 4.3.2.13

Умножим $\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.13.1

Умножим $\frac{16777216}{2562890625}$ на $\frac{823543}{170859375}$ .

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

Этап 4.3.2.13.2

Умножим $16777216$ на $823543$ .

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

Этап 4.3.2.13.3

Умножим $2562890625$ на $170859375$ .

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

Этап 5