Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} (4 x^{3})$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $4$ влево от ${(x - 1)}^{3}$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 \cdot {(x - 1)}^{3} x^{3}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ из $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ из $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2})$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$

Этап 1.1.4.1.2

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ из $4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.1.3

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ из $x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3) + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.3

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.4

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{3} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.5.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{3} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.5.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.5.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{3} (x^{2} - x - x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.5.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{3 + 2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.7.1.2

Добавим $3$ и $2$ .

$(x^{5} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.7.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.8

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1

Перенесем $x$ .

$(x^{5} - 2 (x \cdot x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.8.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{5} - 2 (x^{1} x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{5} - 2 x^{1 + 3} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.8.3

Добавим $1$ и $3$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.1.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x + 4 \cdot - 1)$

Этап 1.1.4.9.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x - 4)$

Этап 1.1.4.10

Добавим $3 x$ и $4 x$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$

Этап 1.1.4.11

Развернем $(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{5} (7 x) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x^{5} x + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.2

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.2.1

Перенесем $x$ .

$7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.2.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.2.3

Добавим $1$ и $5$ .

$7 x^{6} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.3

Перенесем $- 4$ влево от $x^{5}$ .

$7 x^{6} - 4 \cdot x^{5} - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.5

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.5.1

Перенесем $x$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x \cdot x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.5.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x^{1} x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{1 + 4} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.5.3

Добавим $1$ и $4$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.6

Умножим $- 2$ на $7$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.7

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.9

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.9.1

Перенесем $x$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.9.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.9.3

Добавим $1$ и $3$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.1.4.12.10

Перенесем $- 4$ влево от $x^{3}$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

Этап 1.1.4.13

Вычтем $14 x^{5}$ из $- 4 x^{5}$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

Этап 1.1.4.14

Добавим $8 x^{4}$ и $7 x^{4}$ .

$f' (x) = 7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $7 x^{6}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 18 x^{5}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $15 x^{4}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) - 4 x^{3} = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 4 x^{3}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2})$ .

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x)$ .

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Этап 2.2.1.7

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4$ .

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 7$

Этап 2.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}$

Этап 2.2.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$7 \cdot 1^{3} - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Этап 2.2.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$7 \cdot 1 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Этап 2.2.2.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Этап 2.2.2.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$7 - 18 \cdot 1 + 15 \cdot 1 - 4$

Этап 2.2.2.3.5

Умножим $- 18$ на $1$ .

$7 - 18 + 15 \cdot 1 - 4$

Этап 2.2.2.3.6

Вычтем $18$ из $7$ .

$- 11 + 15 \cdot 1 - 4$

Этап 2.2.2.3.7

Умножим $15$ на $1$ .

$- 11 + 15 - 4$

Этап 2.2.2.3.8

Добавим $- 11$ и $15$ .

$4 - 4$

Этап 2.2.2.3.9

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 2.2.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4}{x - 1}$

Этап 2.2.2.5

Разделим $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$18 x^{2}$

$15 x$

$4$

Этап 2.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$7 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$

Этап 2.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Этап 2.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x^{3} - 7 x^{2}$ .

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Этап 2.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

Этап 2.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

Этап 2.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 11 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

Этап 2.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$

Этап 2.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 11 x^{2} + 11 x$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$

Этап 2.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$

Этап 2.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Этап 2.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Этап 2.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Этап 2.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 4$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Этап 2.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Этап 2.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$7 x^{2} - 11 x + 4$

Этап 2.2.2.6

Запишем $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ в виде набора множителей.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 7 \cdot 4 = 28$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

Этап 2.2.3.1.1.1.2

Запишем $- 11$ как $- 4$ плюс $- 7$

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} + (- 4 - 7) x + 4)) = 0$

Этап 2.2.3.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 4 x - 7 x + 4)) = 0$

Этап 2.2.3.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x^{3} ((x - 1) ((7 x^{2} - 4 x) - 7 x + 4)) = 0$

Этап 2.2.3.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{3} ((x - 1) (x (7 x - 4) - (7 x - 4))) = 0$

Этап 2.2.3.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 x - 4$ .

$x^{3} ((x - 1) ((7 x - 4) (x - 1))) = 0$

Этап 2.2.3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{3} ((x - 1) (7 x - 4) (x - 1)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{3} (x - 1) (7 x - 4) (x - 1) = 0$

Этап 2.2.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

Этап 2.2.4.2

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

Этап 2.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3} {(x - 1)}^{1 + 1} (7 x - 4) = 0$

Этап 2.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$7 x - 4 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6

Приравняем $7 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $7 x - 4$ к $0$ .

$7 x - 4 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $7 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$7 x = 4$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $7 x = 4$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $7 x = 4$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{7}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 1, \frac{4}{7}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{4} {(x - 1)}^{3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{4} {((0) - 1)}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{3}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$0 {(- 1)}^{3}$

Этап 4.1.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 \cdot - 1$

Этап 4.1.2.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

${(1)}^{4} {((1) - 1)}^{3}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 {((1) - 1)}^{3}$

Этап 4.2.2.2

Умножим ${((1) - 1)}^{3}$ на $1$ .

${((1) - 1)}^{3}$

Этап 4.2.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$0^{3}$

Этап 4.2.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{4}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{4}{7}$ вместо $x$ .

${(\frac{4}{7})}^{4} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4^{4}}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Этап 4.3.2.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$\frac{256}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Этап 4.3.2.3

Возведем $7$ в степень $4$ .

$\frac{256}{2401} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Этап 4.3.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7})}^{3}$

Этап 4.3.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

Этап 4.3.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

Этап 4.3.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.7.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 7}{7})}^{3}$

Этап 4.3.2.7.2

Вычтем $7$ из $4$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{- 3}{7})}^{3}$

Этап 4.3.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{256}{2401} {(- \frac{3}{7})}^{3}$

Этап 4.3.2.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{7}$ .

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{7})}^{3})$

Этап 4.3.2.9.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{7}$ .

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{7^{3}})$

Этап 4.3.2.10

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{3^{3}}{7^{3}})$

Этап 4.3.2.11

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{7^{3}})$

Этап 4.3.2.12

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$

Этап 4.3.2.13

Умножим $\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.13.1

Умножим $\frac{256}{2401}$ на $\frac{27}{343}$ .

$- \frac{256 \cdot 27}{2401 \cdot 343}$

Этап 4.3.2.13.2

Умножим $256$ на $27$ .

$- \frac{6912}{2401 \cdot 343}$

Этап 4.3.2.13.3

Умножим $2401$ на $343$ .

$- \frac{6912}{823543}$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{4}{7}, - \frac{6912}{823543})$

Этап 5