Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 12 x - 18 \frac{d}{d x} x$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 12 x - 18 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 18$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 12 x - 18$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} + 12 x - 18$ .

$6 x^{2} + 12 x - 18$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} + 12 x - 18 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} + 12 x - 18 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} + 12 x - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 12 x - 18 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $12 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (2 x) - 18 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 18$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x) + 6 \cdot - 3 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} + 6 (2 x)$ .

$6 (x^{2} + 2 x) + 6 \cdot - 3 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2} + 2 x) + 6 \cdot - 3$ .

$6 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, - 3$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$2 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} - 18 \cdot 1$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} - 18 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 6 {(1)}^{2} - 18 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 + 6 \cdot 1 - 18 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$2 + 6 - 18 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 18$ на $1$ .

$2 + 6 - 18$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $2$ и $6$ .

$8 - 18$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $18$ из $8$ .

$- 10$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$2 {(- 3)}^{3} + 6 {(- 3)}^{2} - 18 \cdot - 3$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 27 + 6 {(- 3)}^{2} - 18 \cdot - 3$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $2$ на $- 27$ .

$- 54 + 6 {(- 3)}^{2} - 18 \cdot - 3$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 54 + 6 \cdot 9 - 18 \cdot - 3$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $6$ на $9$ .

$- 54 + 54 - 18 \cdot - 3$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $- 18$ на $- 3$ .

$- 54 + 54 + 54$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $- 54$ и $54$ .

$0 + 54$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $0$ и $54$ .

$54$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(1, - 10), (- 3, 54)$

Этап 5