Математический анализ Примеры

$f (x) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $20 x^{3} - 3 x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{5}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$60 x^{2} - 15 x^{4}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 15 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 15 u^{2} + 60 u = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $15 u$ из $- 15 u^{2} + 60 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $15 u$ из $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 60 u = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $15 u$ из $60 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (4) = 0$

Этап 2.2.3.3

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u (- u) + 15 u (4)$ .

$15 u (- u + 4) = 0$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $- x^{2} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- x^{2} + 4$ к $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- x^{2} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 4$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Этап 2.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 2.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 2.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 2.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 2.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$ верно.

$x = 0, 2, - 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $20 x^{3} - 3 x^{5}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$20 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{5}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$20 \cdot 0 - 3 {(0)}^{5}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $20$ на $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{5}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 3 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 3$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$20 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{5}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$20 \cdot 8 - 3 {(2)}^{5}$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $20$ на $8$ .

$160 - 3 {(2)}^{5}$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $2$ в степень $5$ .

$160 - 3 \cdot 32$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 3$ на $32$ .

$160 - 96$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $96$ из $160$ .

$64$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$20 {(- 2)}^{3} - 3 {(- 2)}^{5}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$20 \cdot - 8 - 3 {(- 2)}^{5}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $20$ на $- 8$ .

$- 160 - 3 {(- 2)}^{5}$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$- 160 - 3 \cdot - 32$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 3$ на $- 32$ .

$- 160 + 96$

Этап 4.3.2.2

Добавим $- 160$ и $96$ .

$- 64$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (2, 64), (- 2, - 64)$

Этап 5