Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 10 x^{2} + 6 x + 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 10 x^{2} + 6 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x^{2}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 10$ .

$6 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 20 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 20 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 x^{2} - 20 x + 6 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x^{2} - 20 x + 6 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $6 x^{2} - 20 x + 6$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 20 x + 6$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} - 20 x + 6$ .

$6 x^{2} - 20 x + 6$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} - 20 x + 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} - 20 x + 6 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2} - 20 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) - 20 x + 6 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 20 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 6 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (3) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x)$ .

$2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (3) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (3)$ .

$2 (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 x$ .

$2 (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Запишем $- 10$ как $- 1$ плюс $- 9$

$2 (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$2 ((3 x - 1) (x - 3)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (3 x - 1) (x - 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (3 x - 1) (x - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, 3$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 x^{3} - 10 x^{2} + 6 x + 1$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{1}{3}$ вместо $x$ .

$2 {(\frac{1}{3})}^{3} - 10 {(\frac{1}{3})}^{2} + 6 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$2 \frac{1^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{1}{3})}^{2} + 6 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{3^{3}} - 10 {(\frac{1}{3})}^{2} + 6 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$2 (\frac{1}{27}) - 10 {(\frac{1}{3})}^{2} + 6 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{27}$ .

$\frac{2}{27} - 10 {(\frac{1}{3})}^{2} + 6 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{27} - 10 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 6 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{27} - 10 \frac{1}{3^{2}} + 6 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{2}{27} - 10 (\frac{1}{9}) + 6 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.8

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{2}{27} + \frac{- 10}{9} + 6 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{27} - \frac{10}{9} + 6 (\frac{1}{3}) + 1$

Этап 4.1.2.1.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.10.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{2}{27} - \frac{10}{9} + 3 (2) \frac{1}{3} + 1$

Этап 4.1.2.1.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{27} - \frac{10}{9} + 3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 1$

Этап 4.1.2.1.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{27} - \frac{10}{9} + 2 + 1$

Этап 4.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $\frac{10}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{27} - (\frac{10}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 2 + 1$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{10}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{27} - \frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 2 + 1$

Этап 4.1.2.2.3

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2}{27} - \frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1} + 1$

Этап 4.1.2.2.4

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{2}{27} - \frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Этап 4.1.2.2.5

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{2}{27} - \frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 27}{27} + 1$

Этап 4.1.2.2.6

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2}{27} - \frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 27}{27} + \frac{1}{1}$

Этап 4.1.2.2.7

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{2}{27} - \frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.2.8

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{2}{27} - \frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 27}{27} + \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.2.9

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$\frac{2}{27} - \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 27}{27} + \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{2}{27} - \frac{10 \cdot 3}{27} + \frac{2 \cdot 27}{27} + \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 10 \cdot 3 + 2 \cdot 27 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $- 10$ на $3$ .

$\frac{2 - 30 + 2 \cdot 27 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{2 - 30 + 54 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Вычтем $30$ из $2$ .

$\frac{- 28 + 54 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.5.2

Добавим $- 28$ и $54$ .

$\frac{26 + 27}{27}$

Этап 4.1.2.5.3

Добавим $26$ и $27$ .

$\frac{53}{27}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$2 {(3)}^{3} - 10 {(3)}^{2} + 6 (3) + 1$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$2 \cdot 27 - 10 {(3)}^{2} + 6 (3) + 1$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $2$ на $27$ .

$54 - 10 {(3)}^{2} + 6 (3) + 1$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$54 - 10 \cdot 9 + 6 (3) + 1$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 10$ на $9$ .

$54 - 90 + 6 (3) + 1$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $6$ на $3$ .

$54 - 90 + 18 + 1$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $90$ из $54$ .

$- 36 + 18 + 1$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 36$ и $18$ .

$- 18 + 1$

Этап 4.2.2.2.3

Добавим $- 18$ и $1$ .

$- 17$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{1}{3}, \frac{53}{27}), (3, - 17)$

Этап 5