Математический анализ Примеры

$y = \cos (a^{3} + x^{3})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos (a^{3} + x^{3}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = a^{3} + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $a^{3} + x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a^{3} + x^{3}]$

Этап 3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [a^{3} + x^{3}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $a^{3} + x^{3}$ .

$- \sin (a^{3} + x^{3}) \frac{d}{d x} [a^{3} + x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $a^{3} + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \sin (a^{3} + x^{3}) (\frac{d}{d x} [a^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2.2

Поскольку $a^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $a^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \sin (a^{3} + x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \sin (a^{3} + x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \sin (a^{3} + x^{3}) (3 x^{2})$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \sin (a^{3} + x^{3}) x^{2}$

Этап 3.2.5.2

Изменим порядок множителей в $- 3 \sin (a^{3} + x^{3}) x^{2}$ .

$- 3 x^{2} \sin (a^{3} + x^{3})$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 3 x^{2} \sin (a^{3} + x^{3})$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{2} \sin (a^{3} + x^{3})$